Défi pour V@J, Thaalos, JeanN, MATHADOR et tous les autres..

[The TJFK]

Soit f une fonction de classe C3 de IR dans IR*+. On pose b:=ln o f, c'est-à-dire f=exp o b.

On suppose sur IR tout entier:

• (b' strictement positive et croissante) ou (b' strictement négative et décroissante)
• b'''=O((b')^2) (où b''' est b tierce ie b dérivée trois fois)

Montrer que abs(f') est équivalente à la moyenne géométrique de f et abs(f'') au voisinage de +oo.


(Remarque: attention, dans la deuxième hypothèse, c'est un O et non un petit o. L'astuce de Lagrange ne marche pas)
(Remarque: Cet exercice est difficile)

[Necklor]

Mdr le titre.

[zwyx]

Mdr le titre.

Ptdr

[Necklor]

@The TJFK tu as oublié le lien YouTube vers une musique de ton manga chelou

[The TJFK]

Celle-ci conviendrait bien pour cet exo je pense:

https://www.youtube.com/watch?v=vzfodAERwuU

Et sinon, personne ne veut tenter l'exo ?

[Porcepic]

Mdr le titre.

j m abon

[Silvere Gangloff]

Joli exercice, dans le genre bourrin.

Je me place dans le cadre b' croissante positive.

$ f'=b' f $ et $ f''=b" f + b'^2f $ donc ce qu'on demande est que
$ b'^2 $ équivalent à $ b"+b'^2 $,
c'est à dire que que $ b"=o(b'^2) $.
Appelons $ h(t)=b'(t) $.
Il existe $ M>0 $ tel que pour tout $ t $ réel $ h"(t) \le M h(t) ^2 $,
d'où $ h' h" \le M h'(t) h(t) ^2 $ car $ b" $ est positive.
On en déduit $ h'(t) ^2 \le 2Mh(t) ^3 /3 + C $ pour une constante $ C $.
Il suit que $ \frac{|h'(t)|}{h(t) ^2} \le \frac{\sqrt{2M h(t) ^3 /3 + C}}{h(t)^2} $
Deux cas sont possibles : h tend vers l'infini ou h est converge vers une limite >0 (par croissance).
Dans le premier cas, la dernière inégalité termine la preuve. Dans le second cas, il suffit de montrer que
$ h' $ tend vers 0. Il est alors pas très dur (je ne vais pas le faire) de montrer que pour une fonction
croissante et bornée, sa dérivée tend vers 0 en l'infini.

[The TJFK]

pour une fonction
croissante et bornée, sa dérivée tend vers 0 en l'infini.

Non. (prends une fonction qui croît de tous petits morceaux (dont la série converge) mais de plus en plus brutalement)

[Silvere Gangloff]

pour une fonction
croissante et bornée, sa dérivée tend vers 0 en l'infini.

Non. (prends une fonction qui croît de tous petits morceaux (dont la série converge) mais de plus en plus brutalement

En effet, j'ai dit une belle bêtise.

[Jay Olsen]

pour une fonction
croissante et bornée, sa dérivée tend vers 0 en l'infini.

Non. (prends une fonction qui croît de tous petits morceaux (dont la série converge) mais de plus en plus brutalement)

Comment est-ce qu'une série de terme croissant (strictement) peut converger ?
C'est plutôt les tous petits morceaux dont la série converge non ?