Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

Bonjour,

(Par contre, je bloque sur la plupart des exos de ce fil, je commence à douter quant à mes capacités de futur taupin. )

Il faut dire qu'entre les exos dont l'énoncé est HP et les exos dont la résolution demande du HP, il y a déjà un tri préalable à faire dans tout ça. En tout cas, il n'y a pas grand chose ici qui puisse vous permettre de vous forger une opinion correcte quant à vos "capacités de futur taupin". Donc, pas de panique.

[Ornithorynque]

Merci beaucoup, vos exercices sont vraiment biens.
Vous en auriez d'autres à nous proposer ? Pendant que j'essaye de résoudre ceux déjà posés...

[Ornithorynque]

- Soit $ (u_n) $ une suite strictement croissante d'entiers. Peut-on déterminer la limite de $ (u_n) $ ?

SPOILER:

Un est majoré ou non.
Un majoré : il existe un réel a tel que pour tout n, Un < Un+1 < a. la limite est a.
Un non majorée Pour tout réel a tel qu'à partir d'un certain rang p, Up ≥ a :
Comme Un est strict. croissante, pour tout n > p ; Un > Up soit Un > a ; comme Un+1 > Un, la limite est + l'infini.

- Si $ (u_n) $ converge vers a, alors $ (u_n) $ converge vers a ou -a.

SPOILER:

$ Lim |Un|= a $
si a ≥ 0, |a|= a et Lim Un = a ; si a < 0, |a| = -a et Lim Un = -a

- Soit $ (u_n) $ une suite, telle que $ |(u_n)| $ converge, est-ce que $ (u_n) $ converge ? Si oui, quelle est la limite de $ (u_n) $ ?

SPOILER:

Si $ |Un| $converge vers a, alors $ Un $ converge vers a si a≥0 ou vers -a si a<0

[Ornithorynque]

Bonsoir; merci, je vais m'y pencher.
Que penses-tu de ma réponse précédente, je n'ai pas bien compris comment utiliser la définition de limite...

[Ornithorynque]

D'accord, je vais essayer de comprendre tout ça, bonne soirée

[guidito]

Pour l'exo 2:

SPOILER:

Pour $ g \le a $ :
$ \forall (x,y) \in \mathbb{R}_{+}^{\star2}, (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \ge 0 $, donc il vient $ x - 2\sqrt{xy} + y \ge 0 $, ie $ x + y \ge 2\sqrt{x}\sqrt{y} $, ce qui est équivalent à $ \frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy} $.

Pour $ h \le g $ :
$ \frac{1}{h} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) $ donc $ h = \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} $.
$ \forall (x,y) \in \mathbb{R}_{+}^{\star2} $, $ (\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{y}})^2 \ge 0 $, donc il vient $ \frac{1}{x} - \frac{2}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{y} \ge 0 $, donc $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{2}{\sqrt{xy}} $, donc $ \sqrt{xy} \ge \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} $.

Sans perte de généralité, on va supposer que $ x \ge y > 0 $.

Pour $ a \le max(x,y) $ :
De $ x \ge y $, on peut déduire $ 2x \ge x+y $, donc $ x \ge \frac{x+y}{2} = a $.

Pour $ min(x,y) \le h $ :
De plus, de $ x \ge y $, on peut également déduire $ \frac{y}{x} \le 1 $, donc $ \frac{y}{x} + 1 \le 2 $. On factorise, $ y(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \le 2 $, donc finalement $ y \le \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = h $.

Bref, $ min(x,y) \le h \le g \le a \le max(x,y) $.

[MihoAzuki]

- Pour tout $ $\alpha, n \in \mathbb{N}$ $, on pose $ $s_{\alpha}(n) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}{k^{\alpha}} $. Que vaut $ $s_1(n)$ $ ? En se servant de la question précédente, déterminer $ $s_2(n)$ $ (indications : considérer l'expression $ $(1+k)^3$ $, et connaître la notion de télescopage).

SPOILER:

s1(n) = 1+2+3+...+n, c'est la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 1, donc s1(n) = ((n+1)*n)/2


(1+k)^3 = 1 + 3k² + 3k + k^3
(1+k)^3 -k^3 = 1 + 3k² + 3k

1^3 - 0^3 = 1 + 0 + 0
2^3 - 1^3 = 1 + 3*1² + 3*1
3^3 - 2^3 = 1 + 3*2² + 3*2
...
(n+1)^3 - n^3 = 1+3n²+3n

Téléscopage, je simplifie.. (je vois pas trop comment rédiger ça sur PC.. )

(n+1)^3 = (1+1+1...+1) + 3(0+1²+2²+3²+...+n²) + 3(1+2+3+...+n)
(n+1)^3 = (n+1) + 3s2(n) + 3s1(n)
3s2(n) = (n+1)^3 - (n+1) -3s1(n)
3s2(n) = (n+1)( (n+1)² -1) - 3/2*(n(n+1))
3s2(n) = (n+1)(n+1+1)(n+1-1) - 3/2*n(n+1)
3s2(n) = n(n+1)((n+2) -3/2)
s2(n) = (n(n+1)(n+1/2))/3
Ou si on veut rendre ça joli:
s2(n) = n(n+1)(2n+1)/6

[Magnéthorax]

Bonjour,

1. Quel est le plus grand sous-ensemble $ \mathcal{D} $ de $ \mathbb{R} $ pour lequel on peut dire que si $ x\in \mathcal{D} $, alors l'expression $ \ln(x)+\frac{1}{\ln(x)} $ définit bien un nombre réel ?

On considère la fonction $ f:\mathcal{D}\rightarrow \mathbb{R},\enskip x\mapsto \ln(x)+\frac{1}{\ln(x)} $ et $ \mathcal{C} $ sa courbe dans un plan muni d'un repère orthonormé.

2. Justifiez que $ f $ est dérivable sur $ \mathcal{D} $.

3. Existe-t-il une tangente à $ \mathcal{C} $ qui passe par l'origine du repère ? Si oui, combien ?

[Ornithorynque]

Bonjour,

1. Quel est le plus grand sous-ensemble $ \mathcal{D} $ de $ \mathbb{R} $ pour lequel on peut dire que si $ x\in \mathcal{D} $, alors l'expression $ \ln(x)+\frac{1}{\ln(x)} $ définit bien un nombre réel ?

On considère la fonction $ f:\mathcal{D}\rightarrow \mathbb{R},\enskip x\mapsto \ln(x)+\frac{1}{\ln(x)} $ et $ \mathcal{C} $ sa courbe dans un plan muni d'un repère orthonormé.

2. Justifiez que $ f $ est dérivable sur $ \mathcal{D} $.

3. Existe-t-il une tangente à $ \mathcal{C} $ qui passe par l'origine du repère ? Si oui, combien ?

Bonjour

SPOILER:

1. Pour que ln(x) existe, il faut x>0; de plus [ln(x)] , au dénominateur, doit être différent de 0, soit x différent de 1. Donc D = ]0;11;+oo[
2. f est dérivable sur D en tant que quotient et somme de fonctions dérivables.
3.$ f'(x) = 1/x + [(-1/x)/(ln(x))^2] $
$ = [1/x]-[1/x(ln(x))^2] = [(ln(x))^2-1]/[x(ln(x))^2] $
$ Y T en a : f'(a)(x-a)+f(a) $
l'équation de la tangente en a doit vérifier f(0)=0
$ f'(a)(0-a)+f(a)=0 $ soit $ -a*f'(a)+f(a)=0 $
$ -a*[((ln(a))^2-1)/(a*(ln(a))^2)]+[ln(a)+1/ln(a)]=0 $
$ [(-(ln(a))^2+1)/(ln(a))^2]+[ln(a)+1/ln(a)]=0 $
$ [(-1)+(1/(ln(a))^2)]+[ln(a)+1/ln(a)]=0 $
$ (ln(a))^3-(ln(a))^2+ln(a)+1=0 $
Soit la variable X = ln(x)
$ X^3-X^2+X+1=0 $ ; d'après ma calculatrice ∃ une unique solution X1 vérifiant l'équation, et $ e^(X1) $ ∈ D
Il existe une seule tangente à C qui passe par l'origine du repère.

[Magnéthorax]

Ornithorynque :

SPOILER:

les idées y sont, même si "ma calculette me dit que" n'est pas recevable...