Exos sympas MP(*)

[cssforever]

un exercice d'arithmétique:
Soit p un entier supérieur ou égal à 3
S:{a entier tel que a et (a+1) sont premiers avec p}
Montrer que le produit des éléments de S sont 1 modulo (p)

[Nietzscha]

Combien y a-t-il de lois * tq (Z,*) soit un groupe?

[bubulle]

un exercice d'arithmétique:
Soit p un entier supérieur ou égal à 3
S:{a entier tel que a et (a+1) sont premiers avec p}
Montrer que le produit des éléments de S sont 1 modulo (p)

SPOILER:

On se place dans Z/pZ.
Si ab=1 et (a+1)c=1 alors :
Naturellement ba=1 et (b+1)ac=(ba+a)c=(a+1)c=1 et donc b et b+1 sont premiers avec p.
Et donc la fonction f qui à a associe b est une bijection de S dans S avec f(a)=a seulement pour a=1 (-1 n'est pas dans S).
Si on construit un ensemble E tel que S est l'union disjointe de E, f(E) et {1} alors prod(S) = prod(E)prod(f(E))=1 (on obtient, en détaillant, un produit de 1).

[Mikihisa]

Pour tout $ n\geq 2 $ et pour tout $ x\in [-1;1] $
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} [(1-x\cos (\frac{(2i-1)}{2n}\pi))(\frac{\cos (n\arccos (x))}{n(x-\cos (\frac{2i-1}{2n}\pi))})^2] = 1 $

[zwyx]

On a dit "sympas"

[Mikihisa]

Poser tel quel l'exercice est infaisable (enfin a moins de connaitre)

Donc voici le lien du probleme :

SPOILER:

Interpollation de Fejér-Hermite :
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ro ... in2011.pdf
Le resultat que j'expose intervient a un point crucial du probleme (question 4)

[mtworski]

Dans la série "exo pas encore posé aux oraux de concours qui pourrait bientôt l'être" :

Pour tout $ \sigma \in \mathfrak{S}_n $, on note $ c_n(\sigma) $ le nombre de cycles dans la décomposition en cycles disjoints de $ \sigma $.
Soit $ P_n=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} X^{c_n(\sigma)} $. Factoriser $ P_n $ sous forme de facteurs irréductibles dans $ \mathbb{Q}[X] $.

Sans étape intermédiaire, cela demande un peu d'imagination.

Considère t'on les points fixes comme des cycles ?

[zwyx]

Soit $ n \geqslant 2 $. Existe t-il $ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb {R} $ continue et injective ?

[MSman]

Soit $ n \geqslant 2 $. Existe t-il $ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb {R} $ continue et injective ?

SPOILER:

Non.
Soit $ y $ un point intérieur de $ Im f $. $ \exists x \in \mathbb{R}^n, f(x)=y $. $ Im f \backslash \{y\} $ n'est pas connexe par arcs et $ \mathbb{R}^n \backslash \{x\} $ l'est.

[The TJFK]

Soit $ n \geqslant 2 $. Existe t-il $ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb {R} $ continue et injective ?

SPOILER:

Non.
Soit $ y $ un point intérieur de $ Im f $. $ \exists x \in \mathbb{R}^n, f(x)=y $. $ Im f \backslash \{y\} $ n'est pas connexe par arcs et $ \mathbb{R}^n \backslash \{x\} $ l'est.

On ne suppose pas f surjective, donc cela ne permet pas de conclure (sauf si j'ai lu trop vite), juste de montrer que l'image est d'intérieur vide (et là la dénombrabilité ne permet pas de conclure, (l'ensemble triadique de Cantor est un exemple d'ensemble indénombrable d'intérieur vide).

Mais du coup, tu résous le problème, si l'on remplace la requête "f injective" par "f surjective".