Trouver l'ensemble des fonctions $ f : \mathbb R \to \mathbb{R} $ vérifiant, pour tous $ x,y \in \mathbb R : f \left( x + f(x+y) \right ) + f\left(xy \right)= f(x) +f(x+y)+yf(x) $
Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Salut :
Re: Exos sympas MP(*)
C'est plutôt un exo de rentrée mpsi
L'exo 6 de la même compétition est très joli !
L'exo 6 de la même compétition est très joli !
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exos sympas MP(*)
Bonsoir,
Un exercice assez sympa : Convergence l'intégrale $ \int_{1}^{\infty}\sin(x\ln x)dx $ ?
Re: Exos sympas MP(*)
Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie et $ u $ un endomorphisme de $ E $ tel que $ \forall x \in E, u(x) \in \text{Vect}(x) $. Montrer que $ u $ est une homothétie.
Enseignant en PCSI
Re: Exos sympas MP(*)
Ah bon ? Bizarre, je l'ai vu pour la première fois il y'a quelques jours
Alors si $ \forall x \in E, u^2(x) \in \text{Vect}(x,u(x)) $, montrer que $ u $ admet un polynôme annulateur de degré 2.
Alors si $ \forall x \in E, u^2(x) \in \text{Vect}(x,u(x)) $, montrer que $ u $ admet un polynôme annulateur de degré 2.
Enseignant en PCSI
Re: Exos sympas MP(*)
C'est peut être classique mais je l'ai jamais fais.. Je propose une réponse rapide, vous me dîtes si ça vous convient.zwyx a écrit :Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie et $ u $ un endomorphisme de $ E $ tel que $ \forall x \in E, u(x) \in \text{Vect}(x) $. Montrer que $ u $ est une homothétie.
SPOILER:
Euh donc c'est à mon tour de proposer...
1) Soient p et q tels que 1/p + 1/q = 1. Soient a et b > 0, montrer que 0 =< ab =< (a^p)/p + (b^q)/q
2) Soit X une variable aléatoire admettant un moment d'ordre p (le même p qu'en haut) et Y une variable aléatoire admettant un moment d'ordre q. Montrer que XY admet une espérance et que E(XY) =< (E(|X^p|))^(1/p)*(E(|Y|^q))^(1/q)
WTF y'a marqué potentially dangerous latex formula.. Je peux pas mettre en tex, désolé.
Re: Exos sympas MP(*)
Pas besoin de récurrence (et d'ailleurs ça marche encore en dimension infinie, et le cas indénombrable met en défaut la démonstration précédente.)
Re: Exos sympas MP(*)
Il faut quand même utiliser un supplémentaire quelque part non ? Du coup dès qu'on sort de la dimension finie on entre dans une zone de flou...The TJFK a écrit :Pas besoin de récurrence (et d'ailleurs ça marche encore en dimension infinie, et le cas indénombrable met en défaut la démonstration précédente.)
Re: Exos sympas MP(*)
C'est bizarre que vous l'ayez pas vu avant, ça sert dans plein d'exos (notamment déterminer le centre de L(E)), et non pas besoin d'utiliser un supplémentaire.
Une autre utilisation de ce résultat:
déterminer les éléments A de Mn(R) tels que l'ensemble ( PAP^(-1), P inversible) est borné.
Une autre utilisation de ce résultat:
déterminer les éléments A de Mn(R) tels que l'ensemble ( PAP^(-1), P inversible) est borné.