Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Marrakchino

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Marrakchino » 14 juil. 2015 22:34

Salut :
Trouver l'ensemble des fonctions $ f : \mathbb R \to \mathbb{R} $ vérifiant, pour tous $ x,y \in \mathbb R : f \left( x + f(x+y) \right ) + f\left(xy \right)= f(x) +f(x+y)+yf(x) $

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 14 juil. 2015 23:15

C'est plutôt un exo de rentrée mpsi :)
L'exo 6 de la même compétition est très joli !
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King

Re: Exos sympas MP(*)

Message par King » 17 juil. 2015 00:35

Bonsoir,
Un exercice assez sympa : Convergence l'intégrale $ \int_{1}^{\infty}\sin(x\ln x)dx $ ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par zwyx » 17 juil. 2015 17:07

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie et $ u $ un endomorphisme de $ E $ tel que $ \forall x \in E, u(x) \in \text{Vect}(x) $. Montrer que $ u $ est une homothétie.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par brank » 17 juil. 2015 17:26

C'est un exercice extrêmement classique.
C'est une fiotte.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par zwyx » 17 juil. 2015 17:47

Ah bon ? Bizarre, je l'ai vu pour la première fois il y'a quelques jours :|

Alors si $ \forall x \in E, u^2(x) \in \text{Vect}(x,u(x)) $, montrer que $ u $ admet un polynôme annulateur de degré 2.
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Jean_Ornstein

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Jean_Ornstein » 18 juil. 2015 00:02

zwyx a écrit :Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie et $ u $ un endomorphisme de $ E $ tel que $ \forall x \in E, u(x) \in \text{Vect}(x) $. Montrer que $ u $ est une homothétie.
C'est peut être classique mais je l'ai jamais fais.. Je propose une réponse rapide, vous me dîtes si ça vous convient.
SPOILER:
Déjà, comme on est en dimension fini, on a un nombre fini de valeurs propres (au moins une) qu'on note $ a_1 , a_2, .... a_n , n = dim E $. On trigonalise notre matrice sur C (notre endomorphisme est bien sur C non ?), et on note $ e_1, e_2, ... e_n $ la base de trigonalisation, où $ n = dim E $ . Donc en regardant la matrice, comme par hypothèse $ u(e_i) = k.e_i $ pour un certain k, on en conclut qu'en fait la matrice dans cette base est diagonale, et que ce k c'est en fait $ a_i $

Après $ u(e_1 + e_2) = a_1 * e_1 + a_2*e_2 = k'(e_1 + e_2) $ pour un certain k', on en déduit que les deux scalaires sont égaux à k', et petite récurrence finie sur le nombre de valeurs propres pour finir.
Mais ça utilise des outils de la deuxième année de classe prépa, on peut faire sans je pense, avec les outils de sup...

Euh donc c'est à mon tour de proposer...

1) Soient p et q tels que 1/p + 1/q = 1. Soient a et b > 0, montrer que 0 =< ab =< (a^p)/p + (b^q)/q
2) Soit X une variable aléatoire admettant un moment d'ordre p (le même p qu'en haut) et Y une variable aléatoire admettant un moment d'ordre q. Montrer que XY admet une espérance et que E(XY) =< (E(|X^p|))^(1/p)*(E(|Y|^q))^(1/q)

WTF y'a marqué potentially dangerous latex formula.. Je peux pas mettre en tex, désolé.

The TJFK

Re: Exos sympas MP(*)

Message par The TJFK » 18 juil. 2015 10:43

Pas besoin de récurrence (et d'ailleurs ça marche encore en dimension infinie, et le cas indénombrable met en défaut la démonstration précédente.)

Cyp

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Cyp » 18 juil. 2015 13:47

The TJFK a écrit :Pas besoin de récurrence (et d'ailleurs ça marche encore en dimension infinie, et le cas indénombrable met en défaut la démonstration précédente.)
Il faut quand même utiliser un supplémentaire quelque part non ? Du coup dès qu'on sort de la dimension finie on entre dans une zone de flou...

Fregiso

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Fregiso » 18 juil. 2015 16:28

C'est bizarre que vous l'ayez pas vu avant, ça sert dans plein d'exos (notamment déterminer le centre de L(E)), et non pas besoin d'utiliser un supplémentaire.

Une autre utilisation de ce résultat:
déterminer les éléments A de Mn(R) tels que l'ensemble ( PAP^(-1), P inversible) est borné.

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