Factorisation canonique d'une application

[Piko]

Bonjour,

je viens de lire dans le manuel d'algèbre Arnaudies-Fraysse ce qu'est la factorisation canonique d'une fonction. Quelqu'un aurait-il la bonté de me donner un exemple d'utilisation de cette factorisation ?

Merci.

[darklol]

Comptons le nombre de carrés dans $ $\mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ $ où $ $p$ $ est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l'application $ $f:x \longmapsto x^2 $ $ qui est un endomorphisme de $ $G = \left( \mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \right)^* $ dont l'image est l'ensemble des carrés non nuls. Le noyau de cet endomorphisme est $ $\{-1,1\}$ $ (en utilisant l'intégrité). Le théorème de factorisation te dit que f induit une bijection de l'ensemble de départ quotienté par la relation d'équivalence $ $x R y$ $ ssi $ $f(x)=f(y)$ $ (qui dans le cas d'un morphisme de groupes est la relation d'équivalence associée aux classes à gauche modulo $ $Ker f$ $) vers $ $Im f$ $.
Donc tu en déduis par égalité des cardinaux que $ $|G/Ker f| = |Im f|$ $ soit (théorème de Lagrange) $ $|Im f| = \frac{p-1}{2}$ $. Donc en ajoutant 0, il y a $ $\frac{p+1}{2}$ $ carrés.

Plus généralement, il sert à montrer des bijections et/ou isomorphismes (dans le cas où l'application considérée préserve une certaine structure) entre ensembles en partant d'applications définies très naturellement.

[Piko]

Merci ! je vois que l'égalité des cardinaux est aussi obtenue par le théorème d'isomorphisme. Est-ce que cela a un rapport avec le theoreme de factorisation et votre remarque sur la nature de xRy définie par f(x)=f(y) quand f est un morphisme ?

[darklol]

Oui précisément: le théorème d'isormorphisme est une sorte de cas particulier de la factorisation canonique, la relation R étant dans le cas d'un morphisme de groupe la congruence modulo $ $\ker f$ $: $ $f(x)=f(y) \Leftrightarrow f(x^{-1}y)=1 \Leftrightarrow x^{-1}y \in \ker f \Leftrightarrow y \in x \ker f $ $ soit $ x \equiv y \pmod {\ker f} $.

Ensuite, le fait que l'application induite par f de $ $G/ \ker f$ $ vers $ f(G) $ soit un morphisme (en plus d'être bijective) est une conséquence supplémentaire à peu près triviale.

Mais pour mon exemple, je ne me suis pas servi du théorème d'isormophisme, seulement de la factorisation canonique: pour l'égalité des cardinaux entre l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée, je n'ai besoin que d'une bijection.

[Piko]

Merci