[MPSI] Équation de Pell Fermat

[truchement]

Mot clef : Entier algébrique.

[bullquies]

Tiens d'ailleurs je profite du fil pour poser une question qui me trotte dans la tête : lorsqu'on étudie des anneaux du type Z[truc] (enfin je l'ai déjà fait avec Z[racine d'un entier] et Z les entiers de Gauss), l'énoncé nous donne toujours une application sympathique qui permet de faire pas mal de trucs sur les inversibles notamment.
C'est un fait général de munir un anneau d'une telle norme ? Elle existe à chaque fois pour Z[truc] ?

dites-moi si je me trompe, mais je me demandais d'où venait cette notation l'autre jour et j'ai fait le rapprochement avec les polynômes dîndéterminée $ X $ ($ \mathbb{R}[X] $ par exemple, qui sont les polynômes en X à coefs réels...)

Z[truc] ne serait-il pas simplement l'anneau des polynômes en "truc" à coefficients entiers ?
ex: Z[sqrt(2)] c'est l'ensemble des a+b*sqrt(2), mais ca tombe bien parce que $ \forall n, \sqrt{2}^n $ peut s'écrire sous la forme $ a+b \sqrt{2} $ avec a et b entiers.
Pareil pour Z: i^1 = i, i^2 = -1 et ainsi de suite.

[guidito]

Il y a la première partie de ce devoir qui traite de ces anneaux : http://mathprepa.fr/?dl_name=www.mathpr ... oriels.pdf

[darklol]

dites-moi si je me trompe, mais je me demandais d'où venait cette notation l'autre jour et j'ai fait le rapprochement avec les polynômes dîndéterminée X (\mathbb{R}[X] par exemple, qui sont les polynômes en X à coefs réels...)

Z[truc] ne serait-il pas simplement l'anneau des polynômes en "truc" à coefficients entiers ?

Tout à fait. La notation $ $k$ $ pour une partie $ $B$ $ d'une algèbre $ $A$ $ sur un corps $ $k$ $ (plus généralement sur un anneau) désigne la plus petite sous-algèbre de $ $A$ $ contenant $ $B$ $. Si on sait ce qu'est un polynôme, il n'est pas très difficile de montrer que cette sous-algèbre coincide en effet avec $ $\{P(x), x \in B, P \in k[X]\} $.

Et justement pour les polynômes, si on considère la $ $\mathbb{R}$ $-algèbre des suites à coefficients réels munie du produit "polynomial" et qu'on note $ $X = (0,1,0,0,...)$ $ alors on remarque qu'en effet $ $R[X]$ $ qui est la plus petite sous-algèbre contenant $ $X$ $ est l'ensemble des suites à coefficients réels ultimement nulles, c'est-à-dire ce que nous appelons communément polynômes, ce qui montre que les notations sont bien cohérentes.