en fonction du paramètre \lambda \in \left ] 0,1 \right ]
Pour cet exo, étonnament, après test sur des valeurs, il me semble que :
SPOILER:
Pour lambda égal à 1, la suite diverge et pour tout lamba strictement compris entre 0 et 1, la suite converge vers son point fixe qu'on peut trouver en remarquant que $ lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n+1} $ et en résolvant une équation du second degré...
Mais je parviens pas à une démo aboutissant à cette distinction des cas (en supposant qu'elle soit juste ! ).
J'ai essayé de travailler à partir de la "définition" de la convergence donnée en Term : Si une suite converge alors pour a strictement positif aussi petit que l'on veut, il vient pour pour n supérieur à un certain rang : $ L - a < u_n < L + a $ avec L la limite, mais j'aboutis pas...
Quelqu'un aurait-il une indication ?
Ta remarque sur le cas $ \lambda =1 $ est juste, mais ta conjecture est fausse. Après, tu as sans doute remarqué que la fonction itérative est décroissante, en TS vous regardez surtout les suites récurrentes avec f croissante, mais il est possible que ton prof ait glissé un mot sur le cas f décroissante...
Je mets un indice en spoilers.
SPOILER:
Que dire de la monotonie de g=fof dans notre cas ?
Bonne continuation
Ben elle nous a parlé ) de suites extraites je crois quand on a bossé sur la suite harmonique mais sinon effectivement on a vu que des suites croissantes hehe --'
Merci de ton indication mais juste fof c'est f(f(x)) ?
Soit $ (u_n) $ la suite définie par:
$ u_0 = u_1 = -1 $
$ u_{n+2} = (n+1)u_{n+1} - (n+2)u_n $.
1) Faire deux conjectures: l'une concernant la différence $ u_{n+1} - u_n $, et l'autre concernant la suite $ (u_n) $.
2) Déterminez une expression de la suite $ (u_n) $.
A l'aide d'un encadrement bien choisi, déterminer le comportement de la suite $ (u_n) $:
Exprimer $ (u_n) $ à l'aide du symbole de sommation pour trouver un encadrement pertinent
Une proposition :
SPOILER:
On sait que $ u_n $ est strictement croissante, car on somme à chaque nouvelle itération un nombre strictement positif.
Donc soit $ (u_n) $ converge vers un réel strictement positif L, soit $ (u_n) $ diverge vers $ +\infty $
On étudie la différence de $ u_2n $ et de $ u_n $.
De plus $ k \le 2n $ d'où $ \frac{1}{k} \ge \frac{1}{2n} \ge \frac{1}{4n^2} $ (n étant ici supérieur à 1)
Donc $ \frac{1}{\sqrt{k}} \ge \frac{1}{2n} $
Et donc $ u_{2n} - u_{n} \ge \sum_{k=n+1}{2n} \frac{1}{2n} $
D'où $ u_{2n} - u_{n} \ge \frac{1}{2} $ pour tout n.
Or si cette somme convergeait, alors la limite de $ u_{2n} - u_{n} $ serait 0.
Ce n'est pas le cas, d'où $ u_n = 1 + \frac{1}{\sqrt2} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} $ divergente vers +$ \infty $
Pour l'exercice de youyou7, je tombe un moment (avec les suites extraites) sut un truc du 4e degré pour trouver des points fixes... J'écris ce à quoi j'ai abouti
@Yoki : Pas encore pour ma part La seule chose que je sais sur ce truc, c'est qu'en vrai un trinôme admet deux racines même si son discriminant est négatif, et i² = -1
Donc pour l'exo de youyou7, après sa recommandation sur fof et sa monotonie , j'ai travaillé de ce côté, et je bug sur une équation du 4e degré qui me semble irrésolible à la main, donc je me suis probablement planté de méthodes, enfin bref, si quelqu'un peut me remettre dans le droit chemin ( ), je lui serai reconnaissante ^^ Je mets en spoiler au cas où certains continuent de chercher :
SPOILER:
On sait (fin plutôt on démontre ^^) que la fonction f telle que $ f(u_n) = u_{n+1} $ est décroissante sur l'intervalle [0;1].
Donc la fonction composée fof est croissante sur ce même intervalle.
Donc si on considère deux "sous-suites" $ (u_{2n}) $ et $ (u_{2n+1}) $, on sait que l'une est strictement croissante sur cet intervalle, et l'autre strictement décroissante.
Donc la je cherchais à savor si ces deux suites convergeaient vers la même limite, comme ça (u_n) converge, et donc j'ai essayé de chercher des points fixes de fof, mais je tombe sur une équation du 4e degré... (sans terme du 3e degré certes... ^^)
Suis-je sur la bonne voie ?
Dernière modification par mathophilie le 13 janv. 2016 21:32, modifié 1 fois.
Yoki a écrit :Bien joué pour l'exercice, c'est bien plus élégant que ce à quoi je pensais en plus
J'ai pas trop de mérite, j'avais posé une question à mon prof de maths en lui demandant si une suite dont la différence entre deux termes convergeait vers 0 était nécessairement convergente... Il m'a dit non mais m'a glissé qu'en revanche il était intéressant d'étudier la différence entre deux termes pour montrer que la suite était divergente
Du coup en regardant ton exo je m'en suis souvenue c'est tout
Juste par curiosité, tu aurais fait comment ? J'arrive pas à voir une deuxième méthode, donc la résolution d'un taupin ca m'intéresse
Soit $ (u_n) $ la suite définie par:
$ u_0 = u_1 = -1 $
$ u_n+2 = (n+1)u_{n+1} - (n+2)u_n. $
1) Faire deux conjectures: l'une concernant la différence $ u_{n+1} - u_n $, et l'autre concernant la suite $ (u_n). $
2) Déterminez une expression de la suite $ (u_n). $
Une proposition pour cet exo de Yoki :
SPOILER:
Après essai sur les premiers termes, on conjecture que $ u_{n+1} - u_n = 2n $
Et de ce fait $ u_n = u_0 + 2\sum_{k=0}^{n-1}k $
D'où $ u_n = n(n-1) - 1 $
Et pour le démontrer rigoureusement, j'aurais fait une récurrence double à partir de cette expression.
VRAI au rang 0 pour $ u_0 $ et $ u_1 $.
On suppose que pour un rang n donné, $ u_n = n(n-1) - 1 $ et $ u_{n+1} = (n+1)n - 1 $
Le fait que tu puisses prouver la divergence tiens simplement du fait que si une suite converge, alors toutes les suites extraites de cette même suite convergent. Donc forcément, si l'une ne converge pas... ^^
Bon c'est pas au programme de terminale normalement, mais ça se démontre assez et vu que vous parliez de suites extraites... Et puis, "ça se voit" comme dirait un certain mécanicien.
Ma résolution tenait en une minoration de $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ par $ 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) $, qu'on obtient en développant $ (\sqrt{n} - \sqrt{n+1})^2 $ et après ça va tout seul mais c'est moins sympa comme preuve.
).
La seule chose que je sais sur ce truc, c'est qu'en vrai un trinôme admet deux racines même si son discriminant est négatif, et i² = -1 
), je lui serai reconnaissante ^^ Je mets en spoiler au cas où certains continuent de chercher :
