Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

A parce qu'on doit s'arrêter à ce qui est exigible au bac? On va pas aller bien loin alors...
La limite peut-être trouvée avec les outils de terminale quoi qu'il en soit

Si si : on peut aller assez loin. Il faut juste faire l'effort d'y réfléchir.
Que la limite soit trouvable avec des outils de terminale : ok. Mais sans indication, c'est sûrement un exercice plus difficile que votre énoncé de départ.

[Magnéthorax]

A méditer après avoir résolu l'exo : comment démontrer que la fonction sinus est dérivable en 0 et déterminer son nombre dérivé en ce réel ?

[mathophilie]

Ah mais avec l'indication de la possible décomposition avec $ \frac{sin(x)}{x} $, je croix que j'ai une autre méthode de résolution :

SPOILER:

$ \frac{sinx}{1 - cosx} = \frac{2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})}{1-1+2sin^2(\frac{x}{2})} $

D'où $ \frac{sinx}{1 - cosx} = \frac{cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}} $

Donc $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xsinx}{1 - cosx} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}} $

De plus, en posant $ X = \frac{x}{2} $, on a :
$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sin\frac{x}{2}} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{2X}{sinX} $

De plus $ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{sinX}{2X} = \frac{1}{2} et \lim_{X\rightarrow \frac{1}{2}} \frac{1}{X}= 2. $

Donc $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sin\frac{x}{2}} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{2X}{sinX}= 2 $

D'où $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}} = 2 $ (car la limite de $ cos\frac{x}{2} $ = 1 en 0)

Et donc $ \lim__{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{1 - cosx} = 2 $

[Yoki]

Bah, laissons réfléchir un peu et s'il y a une demande d'indication, on peut la donner ensuite
Et puis on n'est pas obligé de se ramener à cette forme pour trouver la limite.

mathophilie: voilà.
Mais fais attention à ce que tu fais tendre (là je ne vois que des x, mais aucun X....) et vers quoi.

[mathophilie]

Ton raisonnement marche aussi pour remplacer sin(x) par 2x...

Oui c'est vrai...

Observe plutôt la limite de $ \dfrac{\sin(x)}{x} $ en 0. C'est un taux d'accroissement connu.
Pour le reste, c'est pas mal mais transforme ton expression avant d'en présenter la limite car tu ne sais pas au début que la limite existe...

Oui effectivement, je n'y avais pas pensé... J'ai tilté trop tard, quand Magnéthorax a parlé d'une décomosition analogue...

Merci de vos messages

D'autre part, je trouve la première limite difficile : j'ai beau factoriser, multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée, rien n'y fait

[mathophilie]

Bah, laissons réfléchir un peu et s'il y a une demande d'indication, on peut la donner ensuite
Et puis on n'est pas obligé de se ramener à cette forme pour trouver la limite.

mathophilie: voilà.
Mais fais attention à ce que tu fais tendre vers quoi (là je ne vois que des x, mais aucun X....)

Ok merci
Oui je me suis emmêlée dans les indices pour la rédaction, je vois des trucs bizarres en me relisant : je vais éditer et corriger.

En tout cas, ce sont des jolies limites que tu proposes je trouve !

[Magnéthorax]

Si si : la quantité conjuguée, ça marche.

[mathophilie]

A méditer après avoir résolu l'exo : comment démontrer que la fonction sinus est dérivable en 0 et déterminer son nombre dérivé en ce réel ?

Pour regarder si elle est dérivable, on regarde si la limite du taux d'accroissement en 0 est finie et unique.

Soit h un réel non nul, on a comme taux d'acroissement en 0 : $ \frac{sin(h)}{h} $, donc la limite vaut 1 quand h tend vers 0. Ainsi, la limite est finie et unique : donc la finction sinus est dérivable en 0, et son nombre dérivé est 1 ?

[mathophilie]

Si si : la quantité conjuguée, ça marche.

Ok merci, j'ai dû passer à côté d'un truc

Je m'y remets après goûter

[Magnéthorax]

C'est le niveau juste au dessus de la limite en 0 de $ x\mapsto \frac{\sqrt{1-x}-1}{x} $. Et on peut continuer longtemps après... Comme on a pas toujours affaire à des fonctions avec des propriétés aussi particulières, on a développé une méthode générale pour ce genre de chose : cf. l'année prochaine dans le cours sur la dérivation.