La dérivée d'une fonction bornée est-elle bornée ?

[TROLOLOL]

Bonjour, je cherche la réponse à cette question depuis un certain temps mais je vois pas comment le prouver (bien que ça me semble évident).
Vous auriez une idée ?

Je cherche à montrer que la dérivée d'une fonction bornée et dérivable est elle-même bornée.
Merci d'avance

[darklol]

Non, la dérivée d'une fonction bornée n'est pas nécessairement bornée. Exemple classique: $ $x \longmapsto cos(x^2)$ $. En fait, le fait que la fonction soit bornée ne l'empêche pas d'avoir des variations très fortes (c'est le cas de la fonction précédente qui oscille énormément à l'infini).

[TROLOLOL]

Oui pardon, je me suis trompé.
La fonction de départ n'est pas bornée, elle est simplement définie sur un intervalle.
Excuse-moi

[darklol]

Qu'est ce que tu cherches à montrer du coup? La fonction que je t'ai donnée en exemple est définie sur un intervalle ($ \mathbb{R} $).

[Jay Olsen]

Sur un intervalle fini ça va mieux le faire.

Sur un intervalle c'est trivial, car dérivée non bornée veut dire qu'elle est infinie en un point càd que la fonction n'est pas dérivable.. Exemple : racine sur [0,1].

[TROLOLOL]

Défini sur un intervalle fermé en fait. C'est ça que je voulais dire.

Disons qu'on a f : [a,b] -> R ; dérivable sur [a,b]
J'aimerais montrer que sa dérivée est bornée.
Et même mieux ensuite : que si la fonction est de classe C^n, alors sa dérivée n-ième est elle aussi bornée

[darklol]

Non, ce que tu dis est faux, malheureusement ça n'est pas aussi simple. En effet sur un intervalle fermé borné, si la fonction est C^1 alors sa dérivée est évidemment bornée (car continue sur un segment). Mais si elle est seulement dérivable, ça ne marche à nouveau plus: $ x \longmapsto x^2 \cdot sin(1/x) $ prolongée par continuité en 0.

[darklol]

(Au fait $ \mathbb{R} $ est un intervalle fermé).

[JeanN]

Défini sur un intervalle fermé en fait. C'est ça que je voulais dire.

Disons qu'on a f : [a,b] -> R ; dérivable sur [a,b]
J'aimerais montrer que sa dérivée est bornée.
Et même mieux ensuite : que si la fonction est de classe C^n, alors sa dérivée n-ième est elle aussi bornée

Avec la classe C^n c'est faisable car ta dérivée n-ième est continue sur le segment [a,b]
A mon avis, tu devrais relire ton énoncé et la subtile distinction entre classe C1 et dérivabilité.

[lsjduejd]

Non, ce que tu dis est faux, malheureusement ça n'est pas aussi simple. En effet sur un intervalle fermé borné, si la fonction est C^1 alors sa dérivée est évidemment bornée (car continue sur un segment). Mais si elle est seulement dérivable, ça ne marche à nouveau plus: $ x \longmapsto x^2 \cdot sin(1/x) $ prolongée par continuité en 0.

Prolongée par continuité, ok, mais prolongée par dérivabilité aussi ?


La question reste donc ouverte : la dérivée d'une fonction dérivable sur un segment est-elle bornée sur ce segment ?