Etude d'une suite définie implicitement

[darklol]

Définition de l'unicité d'une solution à une équation: si $ (E) $ est une équation dont l'éventuelle solution est unique, et si $ x $ et $ y $ vérifient tous les deux $ (E) $, alors $ x=y $.

Ok tu as que $ f(n \pi) < 0 $. Maintenant calcule comme je t'ai demandé la limite à gauche de $ f $ en $ n \pi + \frac{\pi}{2} $: conclus avec le théorème des valeurs intermédiaires et (encore une fois) l'unicité de $ x_n $.

[Rex38]

Merci pour vos réponses !

Bon j'ai enfin compris pour la question 1.b) :
Soit n un entier naturel. D'après 1a., l'équation (E) possède une unique solution dans l'intervalle $ ]-\frac{\pi}{2}+(-n)\pi,\frac{\pi}{2}+(-n)\pi[ $ qui est, par définition, le réel noté $ x_{-n} $
Or, la fonction tangente étant impaire, l'égalité $ tan(x_n)=x_n $ implique l'égalité $ tan(-x_n)=-xn $ avec $ x_n \in I_n = ]-\frac{\pi}{2} - n\pi, \frac{\pi}{2} - n\pi[ $
$ x_n et x_{-n} $ sont donc solution de tan(x)=x donc par unicité de la solution, on a $ x_n = x_{-n} $

Pour la question 2 par contre, je suis toujours bloqué ...
Quand je calcul la limite à gauche de f en $ n \pi + \frac{\pi}{2} $ je tombe sur quelque chose d'impossible ...
J'ai donc calculé : $ \lim_{x\to n\pi+\frac{\pi}{2}} tanx - x $
Or $ tan(n\pi +\frac{\pi}{2}}) = \frac{cosn\pi}{-sinn\pi} $
J'ai du faire une erreur car j'ai un 0 au dénominateur ...

[darklol]

C'est bien pour ça que je te demande de calculer une limite, car $ f $ n'est pas définie en $ n \pi + \frac{\pi}{2} $. Petite astuce: $ \tan $ est $ \pi $-périodique, donc la limite de $ \tan(x) $ quand $ x $ tend vers $ n \pi + \frac{\pi}{2} $ par la gauche est la même que celle quand $ x $ tend vers $ \frac{\pi}{2} $ par la gauche. Quel est le signe de $ cos(x) $ quand $ x $ tend vers $ \frac{\pi}{2} $ par la gauche? Par des théorèmes opératoires sur les limites, tu devrais pouvoir trouver la limite de $ f $ au point considéré.

[Magnéthorax]

Merci pour vos réponses !

Bon j'ai enfin compris pour la question 1.b) :
Soit n un entier naturel. D'après 1a., l'équation (E) possède une unique solution dans l'intervalle $ ]-\frac{\pi}{2}+(-n)\pi,\frac{\pi}{2}+(-n)\pi[ $ qui est, par définition, le réel noté $ x_{-n} $
Or, la fonction tangente étant impaire, l'égalité $ tan(x_n)=x_n $ implique l'égalité $ tan(-x_n)=-xn $ avec $ x_n \in I_n = ]-\frac{\pi}{2} - n\pi, \frac{\pi}{2} - n\pi[ $
$ x_n et x_{-n} $ sont donc solution de tan(x)=x donc par unicité de la solution, on a $ x_n = x_{-n} $

... plutôt : "avec $ -x_n \in I_{-n} = ]-\frac{\pi}{2} - n\pi, \frac{\pi}{2} - n\pi[ $" et c'est bon.

Pour la question 2 par contre, je suis toujours bloqué ...
Quand je calcul la limite à gauche de f en $ n \pi + \frac{\pi}{2} $ je tombe sur quelque chose d'impossible ...
J'ai donc calculé : $ \lim_{x\to n\pi+\frac{\pi}{2}} tanx - x $
Or $ tan(n\pi +\frac{\pi}{2}}) = \frac{cosn\pi}{-sinn\pi} $
J'ai du faire une erreur car j'ai un 0 au dénominateur ...

Relisez mon dernier message et faites ce que je vous suggère (tableau de variation etc.). Envoyez une photo si besoin.

[Rex38]

Bon j'ai essayé vos deux méthodes :

$ \lim_{x\to n \pi + \frac{\pi}{2}} tan x -x = ? $
on a : $ \lim_{x\to n \pi + \frac{\pi}{2}} tan x $ = $ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} tan x $=$ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{sinx}{cosx} $
or $ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} cos x = 0^+ $ à gauche donc $ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} tanx = +oo $
Par contre je me retrouve avec une forme indéterminée quand je calcule la limite de f car $ \lim_{x\to n \pi + \frac{\pi}{2}} x $=+oo
donc lim f = +oo -oo


En utilisant la méthode du graphique je ne sais pas comment joindre la photo

[darklol]

La limite de x quand x tend vers n*pi + pi/2 c'est n*pi + pi/2, pas +inf.

[Rex38]

Ah oui, je sais pas pourquoi je pensais que n tendais vers +inf

Bon du coup la limite de f en n*pi + pi/2 c'est +inf ?

[Magnéthorax]

Vous n'êtes pas obligé d'en passer par la limite à gauche en $ \pi/2+n\pi $ pour conclure que vous avez $ n\pi<x_n $. Vous n'arrivez pas à démontrer cette inégalité avec l'aide éventuelle du tableau de variation comme je vous l'ai suggéré ?

Autre chose : ce n'est peut-être pas ce qui vous occupe prioritairement, mais vous devriez peut-être prendre le temps de faire une étude sommaire mais méthodique et argumentée de la fonction tangente. Quand on se destine à passer des concours, il y a des savoir-faire sur lesquels il faut être efficace. Ce n'est pas arbitraire non plus : difficile de comprendre quelque-chose à cette histoire de suite implicite si on ne connait pas bien la fonction qui sert à la fabriquer.


1. Ensemble de définition

2. Parité, périodicité

3. Réduction de l'ensemble d'étude au plus petit intervalle possible

4. Variation sur ce plus petit intervalle possible

5. Limite au niveau de la borne supérieure de ce plus petit intervalle possible

[Magnéthorax]

et aussi : difficile de comprendre ce qu'est la fonction arctangente sans ce travail préliminaire sur la fonction tangente (cf. votre premier message).