Exercices de MPSI

[phibang]

Mais s'il est dit dans l'énoncé que la suite est définie sur un intervalle donné, c'est bien qu'elle existe, non ?

Une suite n'est pas définie sur un intervalle.
Souvent l'énoncé ne dit pas qu'elle est définie, mais il la pose comme si elle était définie (à vérifier ou pas c'est un choix, en prépa il faut le faire en tout cas).

Je me demandais juste - du fait qu'il s'agisse d'un exo de CG - si on attend de nous toutes ces justifications...
Je ne dis pas ça contre la rigueur Ô combien nécessaire que vous préconisez, seulement, je me demande si les lauréats dudit CG ont pensé à tout ça...
C'est juste histoire que je place des repères à mes justifications, qui je le crains peuvent aller très/trop loin, ce qui peut-être problématique, faute de temps.
Voilà voilà ...

Ici en tout cas il faut prouver par récurrence qu'elle est supérieure ou égale à zéro (ou 1 je ne me rappelle plus) pour montrer qu'elle est minorée donc dans ce cas précis c'est obligatoire (pas pour l'existence en fait mais pour l'exercice).
Sur un exercice du CG les quelques lauréats ne se distingueront pas pour avoir fait ça mais pour avoir réussi là où les autres ont échoué. Normalement sur les 5h tu auras largement assez de temps pour vérifier ça et oui je conseille malgré tout de le faire. Et essaie d'être le plus clair, concis et rigoureux possible.

En fait, pour la justification il suffit de dire que c'est la somme de 2 termes positifs (par récurrence si on fignole). Donc pas besoin de ces problèmes...

On fignole alors. Surtout l'année prochaine : en sup rédaction irréprochable à acquérir et récurrences (mêmes triviales) à rédiger.

[rabhix98]

Je me permets de sortir un peu du débat parce que je ne l'ai pas suivi
Je me demandais juste - du fait qu'il s'agisse d'un exo de CG - si on attend de nous toutes ces justifications...
Je ne dis pas ça contre la rigueur Ô combien nécessaire que vous préconisez, seulement, je me demande si les lauréats dudit CG ont pensé à tout ça...
C'est juste histoire que je place des repères à mes justifications, qui je le crains peuvent aller très/trop loin, ce qui peut-être problématique, faute de temps.
Voilà voilà ...

En fait, pour la justification il suffit de dire que c'est la somme de 2 termes positifs (par récurrence si on fignole). Donc pas besoin de ces problèmes...
Vous avez fait tous les sujets de CG de ces 30 dernières années ?

60 dernières années pour ma part
Non, je plaisante, je suis juste tombé sur celui là sur la page d'Igor Kortchemsky, jettes-y un coup d’œil, c'est vraiment intéressant...

[rabhix98]

On fignole alors. Surtout l'année prochaine : en sup rédaction irréprochable à acquérir et récurrences (mêmes triviales) à rédiger.

Ah oui ? On ne peut pas dire: " On montre par récurrence que ..." sans pour autant la rédiger ( si elle est évidente bien sûr). Dommage ...

[phibang]

Pas en début de copie. Faut d'abord gagner la confiance du correcteur, montrer que tu sais faire.
Après j'en sais rien, ça dépend des profs, des correcteurs. Mais c'est toujours plus safe de la faire.
Mais par contre c'est le genre de truc où tu ne dois pas perdre de temps, c'est automatique tu rédiges direct, et vite.

[rabhix98]

Nouvel exercice:

" Discuter de la convergence d'une suite $ (u_{n}) $ vérifiant:
$ u_{0} >0 $ et $ \forall n\in \mathbb{N} $ , $ 0<u_{n+1}\leq 2 - \frac {1}{u_{n}} $"

[Syl20]

60 dernières années pour ma part

Je suis sûr que mathophilie les as fait
Merci pour le lien !

Souvent l'énoncé ne dit pas qu'elle est définie, mais il la pose comme si elle était définie (à vérifier ou pas c'est un choix, en prépa il faut le faire en tout cas).

la suite (un) définie pour tout n dans N

Donc là en fait elle n'est pas définie pour tout n ?

[phibang]

la suite (un) définie pour tout n dans N

Donc là en fait elle n'est pas définie pour tout n ?

Qu'est-ce que tu cites ?

[phibang]

Voilà j'ai quelques exercices si vous voulez:)
Je ne suis pas certain qu'ils soient adaptés mais ils n'utilisent pas plus que le programme de terminale.

Vous l'avez peut-être déjà fait mais bon ça fait travailler un raisonnement à connaître (analyse-synthèse) :

Montrer que toute fonction $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ se décompose comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Même genre de raisonnement :

Déterminer les fonctions $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $ telle que pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(z)+if(\overline{z}) = 2i $

Comme vous aimez les suites et leurs limites :

Soit $ (x_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ une suite de réels positifs. On pose pour tout n > 0, $ y_n = \sqrt{x_1+\sqrt{x_2+...+\sqrt{x_n}}} $
1) Soit a > 0. Ici $ x_n=a $ pour tout n. Etudier la convergence de $ (y_n) $
2) Soit a,b > 0. Même question lorsque $ x_n=ab^{2^n} $ pour tout n
3) Montrer que $ (y_n) $ converge si et seulement si la suite $ (x_n^{2^{-n}}) $ est bornée.

Arithmétique (difficile je trouve si résolu avec la solution arithmétique) :

Résoudre dans $ \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* $ l'équation $ x^y=y^x $

[Syl20]

la suite (un) définie pour tout n dans N

Donc là en fait elle n'est pas définie pour tout n ?

Qu'est-ce que tu cites ?

L'énoncé tel que donné par mathophilie :

Décidément...

Étudier la convergence de la suite (un) définie par : $ u_0 \ge 0 $ et pour tout n dans N, $ u_{n+1} =\sqrt{u_n} + \frac{1}{n+1}. $

Et merci pour les exo !

[phibang]

Si elle est définie pour tout n mais il faut le vérifier.