Exercices de MPSI

[wallissen]

Une démonstration du Théorème de Rolle (accessible avec les outils de Terminal )

On suppose que a et b sont deux racines consécutives d'un polynôme f, mais non racines doubles, telle que $ f(x) = (x-a)(x-b)g(x) $
avec $ g(a) \neq 0 $ et $ g(b) \neq 0 $

1) Montrer que $ g(a) $ et $ g(b) $ ont même signe ( On rappelle que $ a $ et $ b $ sont deux racines consécutives de $ f $)
2) Montrer qu'il existe un certain $ x $ avec $ a < x < b $ tel que $ f'(x) = 0 $( on pourra dessiner une figure pour illustrer)

3) Montrer que ce résultat est généralisable même lorsque a et b sont des racines multiples de f

Astuces

Question 2)

SPOILER:

Comparer les signes de $ f'(a) $ et $ f'(b) $

Question 3)

SPOILER:

Si $ f(x) = (x-a)^m(x-b)^ng(x) $ avec $ g(a) \neq 0 $ et $ g(b) \neq 0 $, considérer alors la fonction polynôme $ h(x) = \frac{f'(x)}{(x-a)^{m-1}(x-b)^{n-1}} $ pour se ramener au cas précédant

Alors, je crois que j'ai trouvé un truc qui court-circuite tes indices mais c'est peut-être pas très rigoureux.

SPOILER:

Sachant que a et b sont deux racines consécutives de f, polynôme donc continu et dérivable sur I=]a, b[ , il n'existe pas de x dans I vérifiant f(x) =0. De plus, f est continue, donc le signe de f(x) est constant sur I.
Si f(x) >0 sur I : la fonction (continue et dérivable) admet un maximum, ie un point d'abscisse x tel que f'(x) =0
On procède de manière analogue si f(x) <0

Tu réponds directement à la deuxième question ?

Hum y a des hypothèses qui permettent de déduire que f admette un maximum ? (a fortiori dans ]a, b[ )

[wallissen]

Pour la première question, vous ne savez pas que $ (^p_k) = \frac{p}{k} (^{p-1}_{k-1}) $ ?

Est ce qu'on a le droit d'admettre directement que $ (^p_k) $ ou $ (^{p-1}_{k-1}) $ est un entier ?
Je me posais la question , puis je me suis dis pourquoi ne pas essayer de le démontrer .

[Syl20]

Tu réponds directement à la deuxième question ?

Oui je réponds à la deuxième direct. J'ai fait la première mais elle n'était pas utile pour la suite... C'est une histoire de tableau de signes à trous...

Hum y a des hypothèses qui permettent de déduire que f admette un maximum ? (a fortiori dans ]a, b[ )

Au moins un maximum, oui. Si elle n'en admettait pas, alors il existait un m de] a, b[ tel que lim f(x) =+infini quand x tend m, ce qui est impossible vu que la fonction est continue

[wallissen]

C'est vrai JustSayin'

J'y avais même pas pensé.

[darklol]

Tu réponds directement à la deuxième question ?

Oui je réponds à la deuxième direct. J'ai fait la première mais elle n'était pas utile pour la suite... C'est une histoire de tableau de signes à trous...

Hum y a des hypothèses qui permettent de déduire que f admette un maximum ? (a fortiori dans ]a, b[ )

Au moins un maximum, oui. Si elle n'en admettait pas, alors il existait un m de] a, b[ tel que lim f(x) =+infini quand x tend m, ce qui est impossible vu que la fonction est continue

Non c'est faux, on ne peut pas dire que f admet forcément un maximum sur ]a,b[ sous le simple prétexte qu'elle est continue a priori. Exemple: l'identité sur n'importe quel ]a,b[ n'en admet pas.

Par contre dans ton cas, f admet bien un maximum et un minimum sur [a,b], et au moins l'un des deux se trouvera finalement être dans ]a,b[ en effet, mais ça se montre.

mathophilie: Nickel! Quelques points de rédaction à peaufiner mais tout est là. Par exemple, tu n'as pas réellement besoin de ta récurrence descendante, tu peux directement te fixer un $ n $ quelconque et considérer un $ i $ tel que $ n \leq 2^i $, et te servir de $ P_{2^i} $ pour montrer $ P_n $ de la même façon que tu as montré $ P_{n+1} \Rightarrow P_n $. Et comme te l'a fait remarquer symetrie, tu n'as pas besoin de montrer $ P_2 \Rightarrow P_4 $, seulement $ P_2 $ vu que tu montres ensuite que $ P_n \Rightarrow P_{2n} $ pour tout $ n $.

[wallissen]

Tu réponds directement à la deuxième question ?

Oui je réponds à la deuxième direct. J'ai fait la première mais elle n'était pas utile pour la suite... C'est une histoire de tableau de signes à trous...

Hum y a des hypothèses qui permettent de déduire que f admette un maximum ? (a fortiori dans ]a, b[ )

Au moins un maximum, oui. Si elle n'en admettait pas, alors il existait un m de] a, b[ tel que lim f(x) =+infini quand x tend m, ce qui est impossible vu que la fonction est continue

Pas forcément ...Cf le contre-exemple de darklol

Sinon la question 1 est justement très utile si tu suis l'indication pour faire la question 2)

On peut s'en sortir s'en parler d'extremum (et en utilisant uniquement le TVI) , sinon on risque d'utiliser un théorème Hors Programme (et c'est pas bien vu par Magnéthorax ^^ )

Je pense que le théorème de Rolle dans sa version actuelle est infaisable avec les outils de Terminale..

Mais celui ci est la version originale qui a été démontrée par Michel Rolle et qui marche avec les fonctions polynomes.

[Syl20]

Au moins un maximum, oui. Si elle n'en admettait pas, alors il existait un m de] a, b[ tel que lim f(x) =+infini quand x tend m, ce qui est impossible vu que la fonction est continue

Non c'est faux, f n'admet pas forcément de maximum sur ]a,b[. Exemple: l'identité sur n'importe quel ]a,b[ n'en admet pas.

Peut-être, mais dans l'exercice de walli on est dans le cas où, pour tout x de ]a,b[, f(x)>f(a)=f(b). Ce qui n'est pas le cas de la fonction que tu propose.
Après, je dis qu'il existe AU MOINS un maximum, pas un seul

[darklol]

Je sais très bien que ce n'est pas le cas de la fonction que je propose car dans ton cas c'est vrai, f admet bien un minimum ou un maximum sur ]a,b[...

J'ai l'impression que vous avez un sacré problème avec les contre exemples: mon contre-exemple n'est pas un contre-exemple au théorème vu que celui-ci est vrai! C'est un contre-exemple à ton argument: "f est continue donc elle admet un maximum sur ]a,b[": ça c'est faux. Il faut utiliser d'autres hypothèses, et LES CITER CLAIREMENT car elles sont essentielles au théorème.

[Syl20]

Tu réponds directement à la deuxième question ?

Oui je réponds à la deuxième direct. J'ai fait la première mais elle n'était pas utile pour la suite... C'est une histoire de tableau de signes à trous...

Hum y a des hypothèses qui permettent de déduire que f admette un maximum ? (a fortiori dans ]a, b[ )

Au moins un maximum, oui. Si elle n'en admettait pas, alors il existait un m de] a, b[ tel que lim f(x) =+infini quand x tend m, ce qui est impossible vu que la fonction est continue

Pas forcément ...Cf le contre-exemple de darklol

Sinon la question 1 est justement très utile si tu suis l'indication pour faire la question 2)

On peut s'en sortir s'en parler d'extremum (et en utilisant uniquement le TVI) , sinon on risque d'utiliser un théorème Hors Programme (et c'est pas bien vu par Magnéthorax ^^ )

Je pense que le théorème de Rolle dans sa version actuelle est infaisable avec les outils de Terminale..

Mais celui ci est la version originale qui a été démontrée par Michel Rolle et qui marche avec les fonctions polynomes.

Je vais le refaire avec tes indications
Pour ce qui est du HP (une fonction continue sur [a,b] admet des extremums et si le point d'abscisse x est un extremum, f'(x)=0), ça me paraît quand même suffisamment logique pour être utilisé.

[Syl20]

Je sais très bien que ce n'est pas le cas de la fonction que je propose car dans ton cas c'est vrai, f admet bien un minimum ou un maximum sur ]a,b[...

J'ai l'impression que vous avez un sacré problème avec les contre exemples: mon contre-exemple n'est pas un contre-exemple au théorème vu que celui-ci est vrai! C'est un contre-exemple à ton argument: "f est continue donc elle admet un maximum sur ]a,b[": ça c'est faux. Il faut utiliser d'autres hypothèses, et LES CITER CLAIREMENT car elles sont essentielles au théorème.

Ok c vrai que ma rédaction est un peu light La flemme de rappeler ce qu'était f...