Effectivement, je trouverais ça vraiment miraculeux qu'on puisse donner une formule simple pour cette somme.spemaths a écrit :J'sais pas j'ai surtout l'impression que la 54 est une faute d'énoncé, ça semble pas vraiment calculable cette somme
Quelques remarques qui font que je n'y crois pas (mais qui ne prouvent rien) :
La fonction $ S_n \colon x \mapsto \sum_{k=0}^n \cos(\sin(kx)) $ est paire et $ \pi $-périodique. En notant $ J = \int_0^\pi \cos(\sin(x))dx \approx 0.7651977 $, on vérifie facilement que $ \int_0^\pi S_n(x)dx = \pi+nJ $ pour tout $ n $.
On peut même montrer que, pour tout réel $ x $ tel que $ \frac{x}{\pi} \not\in \mathbb Q $, $ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}S_n(x) = J $.
En revanche, pour tous $ a $ et $ b $ entiers premiers entre eux, $ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}S_n\left(\pi \frac{a}{b}\right) = \frac{1}{b}\sum_{k=0}^{b-1} \cos(\sin(\pi k\frac{a}{b})) $.
La fonction limite $ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}S_n $ serait donc une sorte de variante de la fonction de Thomae, continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel (à vérifier).
