Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 25 avr. 2016 16:18

EDIT.
Il me manque toujours la partie gauche.

wallissen

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par wallissen » 25 avr. 2016 16:26

Siméon a écrit :
wallissen a écrit :
Ah non ça marche pas...
Mais si !
Je parlais de la méthode à laquelle je pensais :D

Montrer qu'il n'existe pas de fonction positive et de classe C1 (dérivable et de dérivée continue ) sur $ [0, +\infty[ $ telle que $ f'(x) \geq f^2(x) $ pour tout $ x \geq 0 $
Caramba, encore raté !
SPOILER:
La fonction nulle convient.
qu'il n'existe pas de fonction non nulle alors :D

spemaths

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par spemaths » 25 avr. 2016 16:31

SPOILER:
Bah sinon si f non nulle comme f' >= 0 donc à partir d'un certain x, f(x) > 0

Et puis f' >= f² implique f'/f² >= 1 puis on intègre...
c'est plus naturel que ton indic!

wallissen

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par wallissen » 25 avr. 2016 16:49

SPOILER:
En effet c'est l'astuce en sens inverse qui est plus naturel ( enfin tu intègres avec les mêmes bornes que l'astuce je suppose ? )

spemaths

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par spemaths » 25 avr. 2016 16:52

Qu'importe la constante d'intégration ou même des bornes, on s'intéresse à ce qu'il se passe en l'infini!

wallissen

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par wallissen » 25 avr. 2016 16:56

Pourquoi forcément à l'infini ?

J'ai du mal du coup à voir comment tu vas obtenir la contradiction et montrer qu'il n'existe pas de fonction ..... :?

spemaths

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par spemaths » 25 avr. 2016 17:00

Non mais déjà dans ton énoncé f(0) a des chances d'être nul donc bof ton indic. J'intègre entre x0 et x où x > x0 et x0 est tel que f(x0) > 0. Dans tous les cas ça fait 1/f(x) < -x + constante dont on s'en fout et ensuite je prends x > constante par exemple. Ou alors je fais tendre x vers l'infini.

wallissen

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par wallissen » 25 avr. 2016 17:08

ce que tu proposes est plus rigoureux en effet, en fait j'ai eu à peu près la même démarche mais en sens inverse et j'ai supposé implicitement que f(0) est non nulle, ce qui n'est pas forcément vrai en effet.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Siméon » 25 avr. 2016 17:17

Cher wallissen, tu aurais pu poser cette bonne question sous la forme suivante (un peu plus précise) :
Soit $ a > 0 $. Pour quelles valeurs de $ b > 0 $ existe-t-il une fonction $ f : [0,b] \to \mathbb R $ partout dérivable, de dérivée continue, telle que $ f(0) = a $ et $ f'(x) \geq f(x)^2 $ pour tout $ x \in [0,b] $ ?

P.S. Ne passez pas à côté du 559.3.

symétrie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par symétrie » 25 avr. 2016 18:29

Exercice 562.1 : On considère le plan muni d'un repère orthonormé. On se donne un polygone simple (non croisé) dont tous les sommets ont des coordonnées entières. On note $ i $ le nombre de points à coordonnées entières intérieurs au polygone, et $ b $ ceux sur son bord. Montrer que l'aire du polygone est $ i + \frac{b}{2} - 1 $.

Et oui, ne ratez pas le 559.3 !
Dernière modification par symétrie le 26 avr. 2016 22:21, modifié 3 fois.

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