a) Modélisons la situation par une courbe ne passant que par des points de coordonnées entières : M représente les personnes ayant des billets de 10, N les personnes ayant des billets de 5. Quand on rencontre un N dans la série, la courbe d'étude passe de la case (a;b) à la case (a+1;b+1), quand on rencontre un M, elle passe de (a;b) à (a+1;b-1). Ainsi, la courbe part de (0;0), c'est le début de la file, a une longueur égale à m+n le nombre de personnes (une diagonale du carré d'unité du repère orthonormé dans lequel on se place équivalent à 1 unité de segment ici (et non à $ \sqrt{2} $, j'espère me faire comprendre
), monte n fois, descend m fois et de ce fait, s'arrête au point (m+n; n-m). La contrainte imposée dans l'exercice se résume au fait que le nombre total de M rencontré entre le début de la file et une personne déterminée ne doit jamais être supérieur au nombre de N rencontré dans cette même portion de file. Pour notre graphe, cela se traduit pas le fait que la courbe ne doit jamais passer par des points d'ordonnée (entière donc) strictement négative. Combien peut-on dénombrer de courbes passant un moment ou à un autre par des points d'ordonnées strictement négative ? Ce nombre est en fait égal au nombre de courbes allant de (1;-1) à (m+n;m-n). On peut en effet penser une telle association par un principe de réflexion (géométriquement c'est plus facile à comprendre). On a donc m-1 mouvements vers le bas à placer dans m+n "pas" de la courbe, soit $ \binom{m+n}{m-1} $ chemins passant par au moins un point d'ordonnée strictement négative. De plus, le nombre total de manières d'agencer des personnes dans la queue est de placer tous les M dans les M+N espaces, puis de remplir les trous restants avec des N, soit $ \binom{m+n}{m} $ manières.
En ce sens, il y a $ \binom{m+n}{m} - \binom{m+n}{m-1} $ manières de placer les gens dans la queue pour qu'il n'y ait pas d'attente, soit une probabilité de $ p=1- \frac{\binom{m+n}{m-1}}{\binom{m+n}{m}} $ de ne pas avoir d'attente.
b) Même modélisation, sauf que la courbe part du point (0;p). Même contrainte, même principe de réflexion : il ne faut pas que cette courbe passe par des points d'ordonnée strictement négative. Or le nombre de courbes partant de (0;p) et passant par des points d'ordonnée négative est égal au nombre de courbes partant de (p+1;-1-p) et arrivant à (m+n;n-m) : m-p-1 mouvements vers le haut à placer dans m+n mouvements soit $ \binom{m+n}{m-p-1} $ chemins inadéquats d'où $ \binom{m+n}{n} - \binom{m+n}{m-p-1} $ manières d'arranger la file sans attente, d'où $ p=1-\frac{\binom{m+n}{m-p-1}}{\binom{m+n}{m}} $.
c) Même modélisation, sauf qu'il ne faut pas que le nombre de personnes M rencontrées soit supérieur strictement au double du nombre de N rencontré. Donc le nombre d'arrangements de la file inadéquats ici est égal au double du nombre d'arrangements inadéquats en a) : donc $ 2\binom{m+n}{m-1} $ arrangements inadéquats ici, soit $ \binom{m+n}{m}-2\binom{m+n}{m-1} $ arrangements adéquats.
Donc une probabilité $ p=1-2\frac{\binom{m+n}{m-1}}{\binom{m+n}{n}} $ qu'il n'y ait pas d'attente.
