Exos sympas MP(*)

[Siméon]

Exercice. On dira qu'une fonction $ f\colon \mathbb R\to\mathbb R $ est Cesàro-continue si, pour tout $ a \in \mathbb R $ et pour toute suite $ (x_n) $, $ \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k = a \implies \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(x_k) = f(a) $. Déterminer les toutes !
Indication.

SPOILER:

Penser à la loi des grands nombres.

[Physteur]

Je vois pas trop le lien avec les probas...

Je pense qu'il faut montrer que f est affine.

Quitte à soustraire $ f(0) $ on suppose que $ f(0)=0 $, ce qui ne change pas l'hypothèse.

Soit $ x,y \in \mathbb{R} $
On prend la suite $ (x_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} $ définie par $ \forall k \in \mathbb{N}, x_{2k}=x $ et $ x_{2k+1}=y $

Cette suite converge en moyenne de Cesaro vers $ (x+y)/2 $, et avec l'hypothèse, on obtient $ f((x+y)/2) = (f(x)+f(y))/2 $

On a donc $ f(x/2) = f(x)/2 $ donc en réappliquant à ce qui précède $ f(x+y)=f(x)+f(y) $

On en déduit (exo classique) que $ \forall q \in \mathbb{Q}, f(q) = qf(1) $

Puis pour $ x \in \mathbb{R} $ il existe $ (r_n) \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \ \ | \ \ r_n \rightarrow x $, donc par théorème de Cesaro la suite $ (r_n) $ converge vers $ x $, donc en appliquant l'hypothèse et la $ \mathbb{Q} $-linéarité on obtient $ f(x) = xf(1) $

D'ou le résultat, les fonctions césaro-continues sont affines.

[zwyx]

Un sympathique pour la culture générale :

On dit que $ (E, \cdot) $ est un monoïde si $ (E, \cdot) $ vérifie toutes les propriétés d'un groupe sauf celle d'existence d'un inverse à chaque élément.

- Donner 2 exemples de monoïdes qui ne soient pas des groupes.

- On note $ \times $ la multiplication coefficient par coefficient de 2 matrices. Montrer que $ (\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R}), \times) $ est un monoïde sans être un groupe.


HS : Quelqu'un sait ce qui est arrivé à corderaide ? Son compte et tous ses messages ont été supprimés

[into44]

Il a arrêté #siro

[zwyx]

?

[Siméon]

Je vois pas trop le lien avec les probas...

L'idée est simplement de remplacer ta suite déterministe $ (x_n) $ par une suite de variables aléatoires indépendantes de loi bien choisie. Ceci permet notamment de se passer du théorème de Cesàro. Mais ta solution est très bien aussi !

Avec le même genre d'idée, on montre très facilement que pour tout $ \alpha \in [0,1] $, il existe $ A \subset \mathbb N $ tel que $ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{|A\cap [1,n]|}{n} = \alpha $.

[Siméon]

Pour tout $ u \geq 0 $, soit $ N(u) $ le nombre d'entiers $ n \geq 0 $ tels que $ n! \leq u $.
1. Donner un équivalent de $ N(u) $ lorsque $ u $ tend vers $ +\infty $.
2. En déduire un équivalent de $ \int_0^\infty N(u)e^{-tu}du $ lorsque $ t $ tend vers $ 0 $ par valeurs supérieures.
3. En déduire finalement un équivalent de $ \sum_{n=0}^\infty x^{n!} $ lorsque $ x $ tend vers $ 1 $ par valeurs inférieures (Q900 de la RMS 126-3).

[Oka]

En voici un autre joli, non posé aux ENS

Soit $ \mathcal{R} $ un rectangle de coté 1 et $ a $, avec $ a\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} $. Peut-on paver $ \mathcal{R} $ avec un nombre fini de carrés ?

quelqu'un peut écrire ou mettre un lien vers une solution de cet exo ? j'imagine que le message de V@J est une indication mais j'ai rien trouvé

[brank]

Je ne savais pas que ce genre d'information circulait à LLG. Pour rétablir l'équité, il faudrait que le nom de l'examinateur soit indiqué sur les convocations aux oraux. Mais peut-être est-ce le cas. Es-tu admissible symétrie ?

Non c'est pas écrit, mais tout le monde sait qui c'est. Attention au poids de cette épreuve et bravo aux admissibles

[dSP]

La page web de l'interrogateur, pour couper court à tout fantasme :

http://www.math.u-psud.fr/~curien/