Exercices de MPSI

[darklol]

Un pett exercice pour ne pas flooder complètement :
Résoudre dans $ \mathbb{Z}^3 $ l'équation $ x^2+y^2=7z^2 $

SPOILER:

(0;0;0) est solution. On suppose maintenant que les inconnues ne sont pas simultanément nulles. L'équation nous donne $ x^2+y^2 $ divisible par 7. En regardant les congruences des carrés modulo 7 (qui valent soit 0,1,2,4) on en déduit que x et y sont tous les deux des multiples de 7. On trouve donc $ 49k^2 + 49k'^2 = 7z^2$ , soit $7(k^2+k'^2)=z^2 $. d'où z divisible par 7. Ainsi donc on retombe sur une nouvelle équation : $ k^2 + k'^2 = 7k''^2 $. En fait, on peut faire tourner ce processus autant qu'on le veut, il adviendra nécessairement un moment ou les k, k' et k'' ne seront tous plus divisible par 7. On en déduit donc que la seule solution est (0;0;0).

Très bien! La méthode que tu as employée s'appelle la méthode dite de "descente infinie", historiquement introduite par Euclide, qui consiste à construire par l'absurde une suite strictement décroissante d'entiers naturels (ici ce sont les k que tu crées à l'aide de ton "processus", comme tu divises à chaque fois par 7 et qu'ils sont non nuls, tu obtiens un nouveau k strictement plus petit à chaque étape. Ou alors tu peux considérer la suite des valuations 7-adiques qui est elle même une suite d'entiers naturels strictement décroissante, pour insister sur ton argument de divisibilité). Et une telle suite n'existe pas à cause d'un axiome des entiers naturels: toute partie non vide de $ \mathbb{N} $ admet un plus petit élément.

[mathophilie]

Très bien! La méthode que tu as employée s'appelle la méthode dite de "descente infinie", historiquement introduite par Euclide, qui consiste à construire par l'absurde une suite strictement décroissante d'entiers naturels (ici ce sont les k que tu crées à l'aide de ton "processus", comme tu divises à chaque fois par 7 et qu'ils sont non nuls, tu obtiens un nouveau k strictement plus petit à chaque étape. Ou alors tu peux considérer la suite des valuations 7-adiques qui est elle même une suite d'entiers naturels strictement décroissante, pour insister sur ton argument de divisibilité). Et une telle suite n'existe pas à cause d'un axiome des entiers naturels: toute partie non vide de \mathbb{N} admet un plus petit élément.

Ok merci Par contre je ne savais pas ce qu'était une valuation p-adique J'ai fait un petit tour sur wiki : j'aime beaucoup la manière dont tu le démontres avec l'axiome sur les entiers naturels !

Je cherche encore une majoration pour l'autre exo proposé par kakille : je suis sûre qu'on peut démo que se restrienre sur un petit intervalle d'entier suffit, parce qu'en testant les premières valeurs, j'a l'impression que (n+3)^n est plus grand que la suite à partir du rang 4...

[Nico_]

Par contre je ne savais pas ce qu'était une valuation p-adique

Mdr la honte.
Non sérieux c'est bien ce que tu fais ça fait plaisir à voir, et tu restes sobre dans tes propos donc nickel, continue comme ça.

Je corse le niveau bientôt tkt

[Nico_]

Ca s'explique mieux evec les mains je trouve

N'oubliez jamais que si quelque chose est évident pour vous, alors sa démonstration doit l'être également. Sinon, c'est que c'est pas si évident

[brank]

Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire viennent aisément.

[rabhix98]

Soit $ n,k $ deux entiers naturels avec $ k $ impair. Montrer que $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k $ est divisible par $ 1 + 2 + 3 + \cdots + n $.

SPOILER:

Vous me pardonnerez le manque d'élégance de ma solution- c'et très moche mais ça marche- ...
On procède par récurrence sur $ k $
Soit $ k $ un entier impair.
On pose $ P_{k} $ l'assertion: "$ P_{k} $: la somme $ \sum_{l=0}^{n}l=\frac{n(n+1)}{2} $ divise $ \sum_{l=0}^{n}l^{k} $ pour tout $ n\in \mathbb{N}* $".
Montrons que $ P_{k} $ est vraie pour tout $ k $ impair.
Pour $ k=1 $, évident...
On suppose que $ P_{k} $ est vraie pour un $ k $ impair quelconque. Montrons que $ P_{k+2} $ l'est aussi.
$ \sum_{l=1}^{n}l^{k+2}=\sum_{l=1}^{n}\sum_{p=1}^{l}l^{k+1} $
$ \sum_{l=1}^{n}l^{k+2}=\sum_{p=1}^{n}\sum_{l=p}^{n}l^{k+1} $
$ \sum_{l=1}^{n}l^{k+2}=\sum_{p=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}l^{k+1}-\sum_{p=1}^{n}\sum_{l=1}^{p-1}l^{k+1} $
$ \sum_{l=1}^{n}l^{k+2}=\sum_{p=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}\sum_{t=1}^{l}l^{k} - \sum_{p=1}^{n}\sum_{l=1}^{p-1}\sum_{t=1}^{l}l^{k} $
$ \sum_{l=1}^{n}l^{k+2}=\sum_{p=1}^{n}\sum_{t=1}^{n}\sum_{l=t}^{n}l^{k} - \sum_{p=1}^{n}\sum_{t=1}^{p-1}\sum_{l=t}^{p-1}l^{k} $
$ \sum_{l=1}^{n}l^{k+2}=\sum_{p=1}^{n}\sum_{t=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}l^{k} - \sum_{p=1}^{n}\sum_{t=1}^{n}\sum_{l=1}^{t-1}l^{k} $$ - \sum_{p=1}^{n}\sum_{t=1}^{p-1}\sum_{l=1}^{p-1}l^{k} + \sum_{p=1}^{n}\sum_{t=1}^{p-1}\sum_{l=1}^{t-1}l^{k} $
Comme l'hypothèse de récurence indiquait que $ P_k $ est vrai pour tout $ ]n\in \mathbb{N} $, on l'applique non seulement pour les sommes du types $ \sum_{l=1}^{n}l^{k} $ mais aussi pour les sommes telles que $ \sum_{l=1}^{p}l^{k} $ ou encore $ \sum_{l=1}^{t}l^{k} $. On obtient:
$ \sum_{l=1}^{n}l^{k+2}=\sum_{p=1}^{n}\sum_{t=1}^{n}q\frac{n(n+1)}{2} - \sum_{p=1}^{n}\sum_{t=1}^{n}q'\frac{t(t-1)}{2} $$ - \sum_{p=1}^{n}\sum_{t=1}^{p-1}q''\frac{p(p-1)}{2} + \sum_{p=1}^{n}\sum_{t=1}^{p-1}q'\frac{t(t-1)}{2} $
Bon après développement partiel de tout ça on peut factoriser par $ \frac{n(n+1)}{2} $.
Conclusion: $ P_k $ est vraie pour tout entier impair.
N.B: Je n'ai pas vérifié tous les indices sur PC mais sur ma feuille ça semble juste après relecture...

[Zetary]

Bonsoir,
voici un exemple que je trouve assez intéressant de connaître :

Exhiber deux suites monotones strictement positives dont le quotient diverge dans $ \overline{\mathbb{R}} $ c'est à dire n'admet pas de limite, qu'elle soit finie ou infinie

[spemaths]

Je sais pas si tu pensais à cet exemple mais bon

SPOILER:

1 2^3 2^4 2^7 2^8...
et
2 2^2 2^5 2^6 2^9...

[Zetary]

Pas exactement celui-là, mais c''est bien l'idée

[dark-raval]

Un pett exercice pour ne pas flooder complètement :
Résoudre dans $ \mathbb{Z}^3 $ l'équation $ x^2+y^2=7z^2 $

SPOILER:

(0;0;0) est solution. On suppose maintenant que les inconnues ne sont pas simultanément nulles. L'équation nous donne $ x^2+y^2 $ divisible par 7. En regardant les congruences des carrés modulo 7 (qui valent soit 0,1,2,4) on en déduit que x et y sont tous les deux des multiples de 7. On trouve donc $ 49k^2 + 49k'^2 = 7z^2$ , soit $7(k^2+k'^2)=z^2 $. d'où z divisible par 7. Ainsi donc on retombe sur une nouvelle équation : $ k^2 + k'^2 = 7k''^2 $. En fait, on peut faire tourner ce processus autant qu'on le veut, il adviendra nécessairement un moment ou les k, k' et k'' ne seront tous plus divisible par 7. On en déduit donc que la seule solution est (0;0;0).

Très bien! La méthode que tu as employée s'appelle la méthode dite de "descente infinie", historiquement introduite par Euclide, qui consiste à construire par l'absurde une suite strictement décroissante d'entiers naturels (ici ce sont les k que tu crées à l'aide de ton "processus", comme tu divises à chaque fois par 7 et qu'ils sont non nuls, tu obtiens un nouveau k strictement plus petit à chaque étape. Ou alors tu peux considérer la suite des valuations 7-adiques qui est elle même une suite d'entiers naturels strictement décroissante, pour insister sur ton argument de divisibilité). Et une telle suite n'existe pas à cause d'un axiome des entiers naturels: toute partie non vide de $ \mathbb{N} $ admet un plus petit élément.

On aurait pu utiliser les congruences et on remarques que x au carre + y au carre n'est jamais congru a 0 modulo 7 sauf pour x=0 et y=0 !