Exos sympas MPSI

[Zetary]

Rien ne te garantit qu'il n'existera pas une suite de fonctions en escalier majorant f dont la suite des intégrales est non nulle mais de limite nulle, et là tu ne contredis pas l'integrabilité de f.

[Jio15]

Oui, j'avais rectifié. En revanche, on sait qu'il n'existera pas de telles suites, c'est justement ce qu'on doit prouver !

[apzoeiruty3]

Soit $ f $ de $ [0;1] $ dans lui-même strictement monotone. Calculer $ \displaystyle{lim}_{n -> +\infty} \int_0^1 f^n(t)dt $

Les fn converge simplement vers la fonction nulle, et sont dominées par 1, donc par le th de la convergence dominée l’intégrale vaut 0

[symétrie]

Alors à ma connaissance la seule version de l'intégrale au programme de sup est l'intégrale des fonctions continues par morceaux sur un segment.
Et on ne peut certainement pas considérer que tout le monde a vu l'intégrale de Riemann (dans ma classe en sup on l'a pas vu, et en spé on a vu une autre intégrale).

[Zetary]

Les fn converge simplement vers la fonction nulle, et sont dominées par 1, donc par le th de la convergence dominée l’intégrale vaut 0

Plutôt la fonction nulle presque partout (a cause de la valeur 1), et utiliser la convergence dominée ici, n'est-ce pas un peu prendre un bazooka pour tirer sur un moustique ? =p

(Après très honnêtement c'est aussi la première chose à laquelle j'ai pensé quand on m'a posé l'exo ^^)

[apzoeiruty3]

Plutôt la fonction nulle presque partout (a cause de la valeur 1), et utiliser la convergence dominée ici, n'est-ce pas un peu prendre un bazooka pour tirer sur un moustique ? =p

D'ailleurs c'est mieux vu à l'oral de "prendre un bazooka pour tirer sur un moustique" ou bien de faire 2 tableau pour répondre à la question ?

[Jio15]

Soit $ f $ de $ [0;1] $ dans lui-même strictement monotone. Calculer $ \displaystyle{lim}_{n -> +\infty} \int_0^1 f^n(t)dt $

Sans utiliser le gros théorème de convergence monotone ou Dini :
Prenons le cas strictement croissant, exactement similaire à l'autre.
Soit $ \epsilon>0 $. On pose $ r=1-\epsilon $
$ \int_0^1 f^n(t)dt = \int_0^r f^n(t)dt + \int_r^1 f^n(t)dt \leq r f^n(r) + \epsilon 1 \leq f^n(r) + \epsilon $
Or $ f^n(r) \rightarrow 0 $ car $ 0 \leq f(r)<f(1)\leq 1 $ donc pour n assez grand on a $ f^n(r)\leq \epsilon $ d'où $ 0 \leq \int_0^1 f^n(t)dt \leq 2 \epsilon $.

Ainsi $ \int_0^1 f^n(t)dt \rightarrow 0 $ (sans écrire deux tableaux de calculs...)

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Par rapport au post précédent :

Rien n'est mal vu. Simplement, s'il y a une manière beaucoup plus élémentaire (i.e. sans utiliser un bazooka) de faire un exo, l'examinateur regardera ce que tu as fait et te demandera de trouver une autre manière de faire. Il ne t'en voudra pas d'avoir d'abord utilisé quelque chose de trop puissant.
Personnellement, j'avais utilisé le théorème d'Abel sur la continuité des séries entières en +R (R étant le rayon de convergence) alors qu'il y avait convergence absolue, et l'examinateur m'a simplement demandé "C'est très juste, mais vous ne voyez pas un moyen de le faire sans Abel ?"

[apzoeiruty3]

Rien n'est mal vu. Simplement, s'il y a une manière beaucoup plus élémentaire (i.e. sans utiliser un bazooka) de faire un exo, l'examinateur regardera ce que tu as fait et te demandera de trouver une autre manière de faire. Il ne t'en voudra pas d'avoir d'abord utilisé quelque chose de trop puissant.
Personnellement, j'avais utilisé le théorème d'Abel sur la continuité des séries entières en +R (R étant le rayon de convergence) alors qu'il y avait convergence absolue, et l'examinateur m'a simplement demandé "C'est très juste, mais vous ne voyez pas un moyen de le faire sans Abel ?"

D'accord merci !

[Jeannonyme]

Bonjour,
Soit f la fonction de R dans R : x --> $ x-2x^4 $
Il faut montrer que l'on peut trouver une application continue g de R dans R telle que g(x) différent de x pour tout x différent de 1/2 et fog=f. Que vaut gog ?
Y a-t-il une méthode pour résoudre ce genre d'exercice ?
Merci !

[Zetary]

Commence par étudier les variations de f pour te faire une idée de ce que g "doit faire" pour remplir les conditions voulues.