Exercices de MPSI

[Jio15]

Sauf erreur, sur $ \{0, 1\} $ avec l'ensemble vide, $ \{0, 1\} $ et $ \{0\} $ comme fermés, ça marche pas : si $ f \colon \{0, 1\} \to \R $ est continue et $ f^{-1}(0) = \{0\} $, alors $ f(0) = 0 $ et $ f(1) \neq 0 $, donc si on prend l'image réciproque d'un intervalle fermé contenant $ f(1) $ mais pas 0, on obtient $ \{1\} $ qui n'est pas fermé.

Si tu as trouvé un fermé dont l'image réciproque n'est pas fermée, c'est que ta fonction n'est pas continue.
Je pensais plutôt à des applications de $ E $ dans $ E $ où $ E $ est un espace topologique. Le défi c'est, étant donné un fermé $ A $ de $ E $, de construire une application continue $ f $ de $ E $ dans $ E $ (ou autre chose si tu veux) telle que $ f(x)=0 \Leftrightarrow x \in A $

[symétrie]

Ben oui. Donc la fonction n'est pas continue, donc il existe un fermé qui n'est pas l'image réciproque de 0. Enfin je dis peut-être des bêtises mais c'est une preuve par l'absurde que je fais quoi.
Il faudrait que tu précises ta question, parce que du coup je ne la comprends plus trop. Tu veux que tout fermé soit l'image réciproque par une certaine fonction d'un certain point ?

Edit : ben là c'est quoi ton 0 du coup ?

Par ailleurs, ça serait peut-être préférable de continuer la discussion ailleurs parce qu'on a un peu dévié du sujet d'origine, à savoir les maths pour la pré-rentrée MPSI, non ?

[Jio15]

Ben oui. Donc la fonction n'est pas continue, donc il existe un fermé qui n'est pas l'image réciproque de 0. Enfin je dis peut-être des bêtises mais c'est une preuve par l'absurde que je fais quoi.

Ah oui, my bad, je n'avais pas compris pourquoi tu posais f^(-1) (0) = {0}, j'ai compris maintenant, et oui c'est un contre-exemple ^^
Quelqu'un saurait où on trouve des hypothèses minimales sur l'espace pour que tout fermé soit lieu d'annulation d'une application continue ? (par MP parce que du coup les futurs MPSI je les embête un peu quand même )

[symétrie]

Je t'embête une dernière fois sur cette question : c'est quoi « s'annuler » si tu es à valeurs dans un espace topologique a priori quelconque ?

[Jio15]

Je t'embête une dernière fois sur cette question : c'est quoi « s'annuler » si tu es à valeurs dans un espace topologique a priori quelconque ?

Peu importe. Disons que l'image réciproque de n'importe quel singleton peut être considéré comme un "lieu d'annulation". (dans le cas réel on s'en fichait aussi un peu de 0, on l'a juste choisi parce que c'est un nombre pile au milieu xD)

Par contre, du coup il y a deux problèmes distincts : soit on prend un même élément comme "zéro" pour tous les fermés (il existe un élément e tel que pour tout fermé F de E il existe une fonction continue f:E->E telle que l'image réciproque de e par f est F), soit on accepte que pour chaque fermé on prenne un "zéro" différent (pour tout fermé F de E il existe un élément e tel qu'il existe une fonction continue f:E->E telle que l'image réciproque de e par f est F) (il est possible et même assez vraisemblable que les deux problèmes soient équivalents, je n'y ai pas réfléchi)

[symétrie]

C'est au milieu de quoi 0 ? :p (Comment ça je suis pénible ?)

Bon sinon histoire de revenir au sujet initial, voici un petit exercice pas trop méchant :
Soit $ x\in\mathbb{R} $ tel que $ x^9 $ et $ x^{13} $ soient rationnels. Est-ce que $ x $ est rationnel ? Et si on remplace 9 et 13 par 6 et 9 ?

[donnerwetter]

Bon sinon histoire de revenir au sujet initial, voici un petit exercice pas trop méchant :
Soit $ x\in\mathbb{R} $ tel que $ x^9 $ et $ x^{13} $ soient rationnels. Est-ce que $ x $ est rationnel ? Et si on remplace 9 et 13 par 6 et 9 ?

SPOILER:

Soit x est nul, soit $ x^{13}=\frac{a}{b} $ et $ x^9=\frac{c}{d} $ avec $ a,b,c,d \in \mathbb{Z}^* $.
Dans le 2e cas, on obtient $ x^4 $ en effectuant $ x^{13}/x^9 $ puis $ x^5 $ par $ x^9/x^4 $ et enfin $ x=\frac{x^5}{x^4}=\frac{b^2 c^3}{a^2 d^3} $. Donc dans les 2 cas x est rationnel.
Si on remplace 9 et 13 par 6 et 9, on n'a pas assez d'infos pour conclure sur le caractère rationnel ou non de x si je ne m'abuse. On pourrait généraliser en disant qu'il faut que les deux entiers soient premiers entre eux non ?

[Jio15]

Si on remplace 9 et 13 par 6 et 9, on n'a pas assez d'infos pour conclure sur le caractère rationnel ou non de x si je ne m'abuse.

Contre-exemple siouplé ! Tu as la bonne idée, tout ce dont tu as besoin maintenant c'est d'un nombre irrationnel $ x $ tel que $ x^{pgcd(6,9)} $ soit rationnel (par exemple entier). Une petite idée ?

On pourrait généraliser en disant qu'il faut et qu'il suffit que les deux entiers soient premiers entre eux non ?

Preuve siouplé ! Tu connaîtrais pas un théorème vachement pratique permettant de "revenir à 1" quand tu as deux entiers premiers entre eux ?

[Drake's]

Plutôt qu'un contre exemple on pourrait pas montrer l'équivalence entre la proposition et "x^3 est rationnel" puis là y a des contre exemples qu'évident? Je sais pas trop si ça marche mais au feeling..

[Drake's]

Ah mince je viens de réaliser que c'est presque exactement ce que t'as dit Euh bah désolé