Exercices de MPSI

[Jio15]

Montrer que dans une fête, il y a toujours deux personnes qui connaissent le même nombre de personnes

Indice : ça ressemble pas beaucoup à l'exo précédent, et pourtant...

[muggle]

Montrer que dans une fête, il y a toujours deux personnes qui connaissent le même nombre de personnes

Indice : ça ressemble pas beaucoup à l'exo précédent, et pourtant...

SPOILER:

On se donne x personnes présentes à cette fête, avec x un entier strictement supérieur à 1. On peut connaître entre 0 et x-1 personnes. Il est absurde de poser que les individus connaissent tous un nombre de personnes différent dans la mesure où l'on aurait alors un individu qui connaîtrait tout le monde (x-1 p.) et un autre qui ne connaîtrait personne ! D'où la conclusion (principe des tiroirs).

[Luckyos]

Il est dans un des polys "Stratégies de base" d'Animaths celui-là

[Kallio]

Aller une démonstration originale de l'irrationnalité de $ \sqrt{2} $

On suppose que $ \sqrt{2} = \frac{p}{q} $, $ (p,q) \in \mathbb{N}^{2} $ et $ \frac{p}{q} $ est une fraction réduite.
En considérant la fraction $ \frac{2q - p}{p - q} $, démontrer que $ \sqrt{2} $ est irrationnel.

[dark-raval]

Aller une démonstration originale de l'irrationnalité de $ \sqrt{2} $

On suppose que $ \sqrt{2} = \frac{p}{q} $, $ (p,q) \in \mathbb{N}^{2} $ et $ \frac{p}{q} $ est une fraction réduite.
En considérant la fraction $ \frac{2q - p}{p - q} $, démontrer que $ \sqrt{2} $ est irrationnel.

Faut-il raisonner sur pair,impaire ?

on a 2=p^2/q^2 ==== p^2=2*q^2 donc p^2 est un nombre pair, d'ou p est aussi un nombre pair et de meme q doit aussi etre paire pour que p^2/q^2 donne un entier (c'est-a-dire 2) == contradiction car p,q non premiers entre eux car ils sont tous deux paires == donc par l'absurde sqrt(2) est bien irrationnel.

[donnerwetter]

Ça c'est la démo classique

[Kallio]

Faut-il raisonner sur pair, impair ?

Non pas ici, l'exercice demande de se servir de la fraction $ \frac{2q - p}{p - q} $.

Indication :

SPOILER:

Essaye de trouver un lien entre $ \sqrt{2} $ et la fraction donnée, puis cherche une contradiction (celle-ci portant, comme dans la démonstration classique, sur le fait que la fraction est réduite) afin de conclure.

[SH#T]

Aller une démonstration originale de l'irrationnalité de $ \sqrt{2} $

On suppose que $ \sqrt{2} = \frac{p}{q} $, $ (p,q) \in \mathbb{N}^{2} $ et $ \frac{p}{q} $ est une fraction réduite.
En considérant la fraction $ \frac{2q - p}{p - q} $, démontrer que $ \sqrt{2} $ est irrationnel.

SPOILER:

On pose $ \sqrt{2}=\dfrac{p}{q} $ avec $ p\wedge q=1 $.
On a $ p=\sqrt{2} q $, donc: $ 2q-p=2q-\sqrt{2}q=q\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) $ et $ p-q=q(\sqrt{2}-1) $.
On trouve alors que $ \dfrac{2q-p}{p-q}=\sqrt{2}=\dfrac{p}{q} $, ou encore $ p(p-q)=q(2q-p) $
Et puisque p e q sont premiers entre eux: $ q\mid p-q\Rightarrow q\mid p $ (contradiction)

[Kallio]

Oui, à noter que le raisonnement se généralise pour $ \sqrt{n} $, avec $ n $ étant un entier naturel qui n'est pas un carré (il suffit de remplacer 2 par n dans la fraction donnée). Et pour ceux qui n'auraient pas vu le théorème de Gauss, on aurait également pu travailler sur les dénominateurs, afin de montrer que le dénominateur de la fraction donnée est positif et inférieur à celui de $ \frac{p}{q} $, ce qui montre que la fraction n'est pas irréductible.

[muggle]

Relance ?