Exos sympas MPSI
Re: Exos sympas MPSI
Pas de soucis, je migrerai l'exercice.
Re: Exos sympas MPSI
Non non attend ! il y est et moi je l'aime ton exo !gchacha a écrit :Pas de soucis, je migrerai l'exercice.
Re: Exos sympas MPSI
Ce que j'ai fait c'et que je suis parti de la première expression , j'ai transformé f(t) par son expression , j'ai décalé le t^n dans l'intégral avec exp(-xt).
Ensuite j'ai pris ta 2 eme expression , j'ai remplacé basiquement ton gamma(N+1) par son expression et cela me donne
$ \sum_{n=0}^{N} a_{n} \int_{0}^{+\infty}\frac{exp(-x)}{x}+ O(\frac{1}{x^{N+1}}) $
Donc du coup j'utilise tes indications mais ça part vraiment loin , ici avec cette intégrale j'utilise la relation de chasle pour avoir
$ \int_{0}^{b}\frac{exp(-x)}{x}+\int_{b}^{+\infty}\frac{exp(-x)}{x} $
Mais le problème est la , et c'est la ou je galère et je fais n'importe quoi depuis 1 h
On veux montrer ça $ ]\int \limits_{b}^{+\infty} \exp(-xt) t^n \mathrm{d}t \underset{x\to+\infty}{=} O(\exp(-xb)) $
Mais de base comment obtenir une des expression pour ensuite démontrer que c'est égal ? de même je ne comprend pas la 2 eme indication
,
Ensuite j'ai pris ta 2 eme expression , j'ai remplacé basiquement ton gamma(N+1) par son expression et cela me donne
$ \sum_{n=0}^{N} a_{n} \int_{0}^{+\infty}\frac{exp(-x)}{x}+ O(\frac{1}{x^{N+1}}) $
Donc du coup j'utilise tes indications mais ça part vraiment loin , ici avec cette intégrale j'utilise la relation de chasle pour avoir
$ \int_{0}^{b}\frac{exp(-x)}{x}+\int_{b}^{+\infty}\frac{exp(-x)}{x} $
Mais le problème est la , et c'est la ou je galère et je fais n'importe quoi depuis 1 h
On veux montrer ça $ ]\int \limits_{b}^{+\infty} \exp(-xt) t^n \mathrm{d}t \underset{x\to+\infty}{=} O(\exp(-xb)) $
Mais de base comment obtenir une des expression pour ensuite démontrer que c'est égal ? de même je ne comprend pas la 2 eme indication
,Re: Exos sympas MPSI
Après quelques recherches + fructueuse
$ \int_{0}^{b} exp(-xt)f(t) = \sum_{n=0}^{N} an \int_{0}^{b} exp(-xt) t^{n} dt + \int_{0}^{b} exp(-xt) $$ O(t^{N+1}) dt $
J'obtiens donc 2 termes basiquement , je transforme le 1 er terme
$ \sum_{n=0}^{N} an \int_{0}^{+\infty} exp(-xt) t^{n}dt - \int_{b}^{+\infty} exp(-xt) t^{n} dt $$ + \int_{0}^{b} exp(-xt) O(t^{N+1}) dt $
Bon la j'ai 3 termes ce qui m'arrange car pour la 1 je commence à trouver un bout de gamma , le 2 eme et le 3 eme termes sont dans l’indication avec changement de variable et apparition de k(t), donc c'est parfait pour ce coté la .
J'essai de transformer le premier terme pour retrouver gamma mais c'est la ou je bloque et je vais loin
$ \sum_{n=0}^{N} an \int_{0}^{+\infty} exp(-x)exp(t) t^{n}dt $ mais après je sais pas comment retrouver gamma.. Si quelqu’un à quelqu'un à des indications.
$ \int_{0}^{b} exp(-xt)f(t) = \sum_{n=0}^{N} an \int_{0}^{b} exp(-xt) t^{n} dt + \int_{0}^{b} exp(-xt) $$ O(t^{N+1}) dt $
J'obtiens donc 2 termes basiquement , je transforme le 1 er terme
$ \sum_{n=0}^{N} an \int_{0}^{+\infty} exp(-xt) t^{n}dt - \int_{b}^{+\infty} exp(-xt) t^{n} dt $$ + \int_{0}^{b} exp(-xt) O(t^{N+1}) dt $
Bon la j'ai 3 termes ce qui m'arrange car pour la 1 je commence à trouver un bout de gamma , le 2 eme et le 3 eme termes sont dans l’indication avec changement de variable et apparition de k(t), donc c'est parfait pour ce coté la .
J'essai de transformer le premier terme pour retrouver gamma mais c'est la ou je bloque et je vais loin
$ \sum_{n=0}^{N} an \int_{0}^{+\infty} exp(-x)exp(t) t^{n}dt $ mais après je sais pas comment retrouver gamma.. Si quelqu’un à quelqu'un à des indications.
Re: Exos sympas MPSI
Je suis tout à fait incapable de résoudre cet exercice, mais ça m'intéresserait d'avoir une solution. Si vous l'avez, pensez à moi !Siméon a écrit :Un énoncé conforme au programme :
Exo MPSI 235.1
1. Montrer que pour toute fonction $ f\colon \mathbb R \to \mathbb R $ continue, il existe $ g \colon \mathbb R\to \mathbb R $ partout dérivable telle que $ \forall x\in \mathbb R,\ f(x) \leq g(x) $.
2. Est-il vrai que pour toute fonction $ f\colon \mathbb R \to \mathbb R $ continue, il existe $ g \colon \mathbb R\to \mathbb R $ partout dérivable telle que $ \forall x\in \mathbb R,\ f(x) \leq g(x) \leq f(x) + 1 $ ?
Re: Exos sympas MPSI
Pour celui la je me suis pas penché dessusKrik a écrit :Je suis tout à fait incapable de résoudre cet exercice, mais ça m'intéresserait d'avoir une solution. Si vous l'avez, pensez à moi !Siméon a écrit :Un énoncé conforme au programme :
Exo MPSI 235.1
1. Montrer que pour toute fonction $ f\colon \mathbb R \to \mathbb R $ continue, il existe $ g \colon \mathbb R\to \mathbb R $ partout dérivable telle que $ \forall x\in \mathbb R,\ f(x) \leq g(x) $.
2. Est-il vrai que pour toute fonction $ f\colon \mathbb R \to \mathbb R $ continue, il existe $ g \colon \mathbb R\to \mathbb R $ partout dérivable telle que $ \forall x\in \mathbb R,\ f(x) \leq g(x) \leq f(x) + 1 $ ?
A mon avis avec mes connaissances limitées de pcsi , ça me fait beaucoup penser à mon chapitre 6 en math sur la dérivation. Tu devrais te pencher sur le TVI , le taux d'accroissement ou bien le fait qu'elle est continue alors elle a comme conséquence qu'elle est bornée et comme elle est bornée alors elle peut admettre une fonction tel que f(x) < g(x). C'est peux être complètement faux ce que je dis mais l'exo de gchacha me donne du fil à retordre
EDIT: la 2 eme question me fait penser à la foncttion partie entiére , mais cette fonction n'est pas continue ^^
Re: Exos sympas MPSI
Les fonctions continues ne sont pas toutes bornées, sinon cet exercice serait bien trop simple.
Ma seule idée serait de découper R en segments, où on pourrait borner f, et donc la majorer par des fonctions affines. Il resterait à raccorder ces morceaux de façon à avoir quelque chose de dérivable (je ne sais même pas si c'est possible).
Je pense que c'est une très mauvaise piste, mais n'ai pas d'autre idée.
Ma seule idée serait de découper R en segments, où on pourrait borner f, et donc la majorer par des fonctions affines. Il resterait à raccorder ces morceaux de façon à avoir quelque chose de dérivable (je ne sais même pas si c'est possible).
Je pense que c'est une très mauvaise piste, mais n'ai pas d'autre idée.
Re: Exos sympas MPSI
Je me suis mal exprimé ^^
En fait je parlais du TVI et de la fonction continu.
si on a f :I -> R continu sur I intervalle alors l'image J= f(I) de I par f est un intervalle.(qui est la conséquence du TVI)
et donc si on prend dans I ( ici R) un segment [a,b] , avec b>a de n'importe qu'elle longueur (comme tu le faiS remarquer d'ailleurs) alors l'image de I' =[a,b] par f est un segment J=[m,M](respectivement minimum et maximum). Ainsi on sait qu'elle est bornée sur [a,b] qui appartient à R.
Et donc si on poussait plus loin en choisissant l'intervalle [a,b] ou se situe c qui appartient a [a,b] tel que f(c) soit la borne sup de f(x). Donc on a f(c)>=f(x). Il suffit de choisir une fonction tel que g(x) >= f(c)>=f(x).
Je peux raconter n'importe quoi
En fait je parlais du TVI et de la fonction continu.
si on a f :I -> R continu sur I intervalle alors l'image J= f(I) de I par f est un intervalle.(qui est la conséquence du TVI)
et donc si on prend dans I ( ici R) un segment [a,b] , avec b>a de n'importe qu'elle longueur (comme tu le faiS remarquer d'ailleurs) alors l'image de I' =[a,b] par f est un segment J=[m,M](respectivement minimum et maximum). Ainsi on sait qu'elle est bornée sur [a,b] qui appartient à R.
Et donc si on poussait plus loin en choisissant l'intervalle [a,b] ou se situe c qui appartient a [a,b] tel que f(c) soit la borne sup de f(x). Donc on a f(c)>=f(x). Il suffit de choisir une fonction tel que g(x) >= f(c)>=f(x).
Je peux raconter n'importe quoi
Re: Exos sympas MPSI
Sinon un exercice qui peut servir de warm-up:
Soit $ f: \mathbb{R}^+\to\mathbb{R} $ une fonction croissante, montrer qu'on peut trouver une fonction continue $ g $ qui majore $ f $
Dernière modification par ladmzjkf le 27 août 2016 14:55, modifié 2 fois.
Re: Exos sympas MPSI
C'est juste une idée que j'ai émis calme toi ^^.
Mon idée est cool mais on peux trouver un contre exemple. Par exemple si ma fonction tend vers + infini pour x qui tend vers l'infini bah ça marche pas ^^, puisqu'il n'y a pas de borne sup ^^.
Mon idée est cool mais on peux trouver un contre exemple. Par exemple si ma fonction tend vers + infini pour x qui tend vers l'infini bah ça marche pas ^^, puisqu'il n'y a pas de borne sup ^^.