Extraction de sin(n)
Extraction de sin(n)
D'après le théorème de Bolzano-Weirstrass, on sait que sin(n) admet une suite extraite qui converge , est-ce que quelqu'un connait une telle suite ? Parce que j'ai beau cherché mais ... en vain !
Re: Extraction de sin(n)
Par exemple la suite un=max{sin(k)|sin(k)<1/2} (avec k=<n) converge vers 1/2 si c'est ce que tu cherches 
2016-2018 : Louis-le-Grand MPSI-MP*
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Re: Extraction de sin(n)
Euuh, quelle est la fonction extractrice que t'as considérée ?
Dernière modification par Geremy le 21 nov. 2016 12:39, modifié 1 fois.
Re: Extraction de sin(n)
Euuh pour JustSayin;
Oui.... bof , ça n'a pas trop d'importance puisqu'elles sont condensées dans [-1,1], mais bon je me posais cette question d'extraction et ça me taraudait ^^'
Oui.... bof , ça n'a pas trop d'importance puisqu'elles sont condensées dans [-1,1], mais bon je me posais cette question d'extraction et ça me taraudait ^^'
Re: Extraction de sin(n)
[quote="Geremy"]Euuh, quelle est la fonction extractrice que t'as considérée ?[/quote]
Tu peux considerer l'extractrice f telle que n est dans f(N) ssi sin(n)=max pour k<=n de {sin(k)|sin(k)<1/2}. Ca te donne une suite croissante qui va bien converger vers 1/2 car sin est dense dans [-1,1] comme le dit Just Sayin (ce qui te permet d'ailleurs de trouver une suite extraite qui converge vers tout element de [-1,1])
Tu peux considerer l'extractrice f telle que n est dans f(N) ssi sin(n)=max pour k<=n de {sin(k)|sin(k)<1/2}. Ca te donne une suite croissante qui va bien converger vers 1/2 car sin est dense dans [-1,1] comme le dit Just Sayin (ce qui te permet d'ailleurs de trouver une suite extraite qui converge vers tout element de [-1,1])
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Re: Extraction de sin(n)
[quote="JustSayin'"]Geremy : ta question est intéressante, mais je ne pense pas qu'il y ait de fonction extractrice explicite parce que sin(n) a un comportement "chaotique".[/quote]
Avec un développement en fraction continue ça doit se tenter d'approximer [\Pi] par une suite d'entiers. (Enfin son équivalent sur le cercle, avec des classes.)
Avec un développement en fraction continue ça doit se tenter d'approximer [\Pi] par une suite d'entiers. (Enfin son équivalent sur le cercle, avec des classes.)
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.
Re: Extraction de sin(n)
[quote="Syl20"][quote="Geremy"]Euuh, quelle est la fonction extractrice que t'as considérée ?[/quote]
Tu peux considerer l'extractrice f telle que n est dans f(N) ssi sin(n)=max pour k<=n de {sin(k)|sin(k)<1/2}. Ca te donne une suite croissante qui va bien converger vers 1/2 car sin est dense dans [-1,1] comme le dit Just Sayin (ce qui te permet d'ailleurs de trouver une suite extraite qui converge vers tout element de [-1,1])[/quote]
Je crois que, soit ta définition pour la fonction est mal faite, soit j'ai pas bien compris ... Prière de plus de clarification
Tu peux considerer l'extractrice f telle que n est dans f(N) ssi sin(n)=max pour k<=n de {sin(k)|sin(k)<1/2}. Ca te donne une suite croissante qui va bien converger vers 1/2 car sin est dense dans [-1,1] comme le dit Just Sayin (ce qui te permet d'ailleurs de trouver une suite extraite qui converge vers tout element de [-1,1])[/quote]
Je crois que, soit ta définition pour la fonction est mal faite, soit j'ai pas bien compris ... Prière de plus de clarification
Re: Extraction de sin(n)
Avec le développement en série de Engel de pi je pense que y'a moyen de trouver quelque chose
Re: Extraction de sin(n)
Le développement en série de Engel pi est une suite $ u $ d'entiers strictement positifs croissante vérifiant :
$ \pi=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{u_0*u_1*...*u_k} $
On peut facilement montrer que $ 1+\sum_{k=1}^n u_{k}*...*u_n-\pi*u_0*u_1*...*u_n \limits 0 $
On peut en déduire que $ sin(1+\sum_{k=1}^n u_{k}*...*u_n)\limits 0 $
Du coup on peut considérer la fonction extractrice : $ \phi :n \mapsto 1+\sum_{k=1}^n u_{k}*...*u_n $. Il y a une formule de récurrence simple pour calculer les termes de $ u $.
On peut trouver plus d'informations sur cette suite ici : https://oeis.org/A006784
$ \pi=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{u_0*u_1*...*u_k} $
On peut facilement montrer que $ 1+\sum_{k=1}^n u_{k}*...*u_n-\pi*u_0*u_1*...*u_n \limits 0 $
On peut en déduire que $ sin(1+\sum_{k=1}^n u_{k}*...*u_n)\limits 0 $
Du coup on peut considérer la fonction extractrice : $ \phi :n \mapsto 1+\sum_{k=1}^n u_{k}*...*u_n $. Il y a une formule de récurrence simple pour calculer les termes de $ u $.
On peut trouver plus d'informations sur cette suite ici : https://oeis.org/A006784