Le ker de deux matrices semblables

[Clara3]

Bonjour!
J'ai appris que si deux matrices A et B sont semblables, alors elle correspondent à un même endomorphisme mais exprimé dans des bases différentes. Du coup si elles correspondent au même endomorphisme f, est ce qu'on a kerf=kerA=kerB? (car kerf est unique puisqu'il dépend uniquement de l'endomorphisme f).
Merci!!

[saysws]

Oui bien sûr !
Des colonnes de ta matrices tu peux tirer une base de l'image (en mettant de côté les colonnes proportionnels aux autres), ensuite avec les relations de dépendance obtenues et le théorème du rang tu obtiens ton ker, dans le cas de matrices semblables, comme c'est le même endomorphisme mais dans des bases différentes : tu obtient simplement une base différente de imf et kerf, mais tout ce conserve : rang, déterminant, ker, im etc.
L’intérêt de considérer une matrice semblable est d'ailleurs souvent de déterminer ces éléments plus facilement ^^

[VanXoO]

Heu, non... quand on parle du noyau d'une matrice c'est le noyau dans R^n de l'endo canoniquement associé, et les endo canoniquement associés de deux matrices semblables n'ont aucune raison d'avoir même noyau (la dimension est la même par contre).
En fait il suffit de l'écrire : si A=PBP-1, AX=0 <=> BP-1X=0 <=> X appartient à P(ker B). Donc ker A = P(ker B)

[saysws]

Heu, non... quand on parle du noyau d'une matrice c'est le noyau dans R^n de l'endo canoniquement associé, et les endo canoniquement associés de deux matrices semblables n'ont aucune raison d'avoir même noyau (la dimension est la même par contre).
En fait il suffit de l'écrire : si A=PBP-1, AX=0 <=> BP-1X=0 <=> X appartient à P(ker B). Donc ker A = P(ker B)

Ha j'ai du mal comprendre un truc alors navré (c'est ma faute j'aurais jamais du vouloir répondre à un spé ).
Mais je ne comprend pas ton explication, deux matrices semblables représente le même endomorphisme dans des bases différentes, comment le noyau pourrait t'il être différent ?
D'ailleurs est ce que le noyau change par multiplication par une matrice inversible ? (je pense au rang par exemple)
Car il m'a semblé (sans jeu de mots) que P représentait l'identité dans une base quelconque, du coup je vois pas comment le ker pourrait être différent
Quand on prend un bête projecteur par exemple, on peut écrire sa matrice dans une base ou une autre, ces matrices seront semblables, mais si le ker n'est plus le même, ce n'est plus le même projecteur

[Clara3]

Ok merci pour vos réponses!
Mais bon là je suis un peu perdue du coup...

VanXoO a bien raison sur le fait que le ker d'une matrice est le ker de son application canoniquement associé, j'ai vérifié dans mon cours. Ainsi comme A et B n'ont pas les meme applications canoniquement associées, kerA=/=kerB.
Par contre VanXoO je ne comprends pas ta démo! Pour moi AX=0 <=> PBP-1X=0 donc kerA=ker(PBP-1) non??

Mais du coup si A canoniquement associé A f, et B semblable à A, on ne peut trouver Kerf qu'avec A et pas avec B?

Saysws, bonne question pour le projecteur, je ne sais pas y répondre!
Par contre pour l'autre question que tu a posé, quand tu multiplies une matrice par un matrice inversible tu changes vraisemblablement son ker (vue ce qu'on a dit plus haut), mais pas sa dimension! (En effet le rang reste le même donc avec le théorème du rang tu obtiens que la dimension du ker reste la même aussi)

[VanXoO]

Par contre VanXoO je ne comprends pas ta démo! Pour moi AX=0 <=> PBP-1X=0 donc kerA=ker(PBP-1) non??

Exact, mais PBP-1X=0 <=> BP-1X=0 puisque P est inversible, donc ker A = ker(BP-1). Et on peut réecrire ça en disant BP-1X=0 <=> P-1 X est dans ker B, ie X est dans P(ker B).
De même on pourrait écrire im A = {PBP-1X | X dans R^n} = {PB(P-1X) | X dans R^n} = {PBY | Y dans R^n} (car P-1 est surjective) = P({BY | Y dans R^n}) = P(im B).

En fait vous avez mal compris la notion de "représente le même endomorphisme".
Si on prend un endo f d'un ev E et M sa matrice dans une base B, alors le noyau de f est l'ensemble des vecteurs de E dont la matrice DANS LA BASE B est un élément du noyau de M, qui est un sev de R^n et pas de E. Ca n'aurait aucun sens de dire que le noyau de M est le noyau de f, ce ne sont même pas des sev du même espace.
Associer à un endo une matrice revient à identifier cet endo à un endo de R^n : cette identification dépend de la base, et donc il y en a plusieurs possibles : d'où la notion de matrice semblables, qui peuvent représenter le même endo.

Edit : Un exemple tout simple : les matrices de taille 2 avec des zeros partout et un 1 en haut à droite, ou en bas à gauche, sont semblables puisqu'elles représentent toutes les deux l'endo f qui à e1 associe e2 et à e2 zéro (avec e1 et e2 une base d'un ev de dimension 2 quelconque), la première dans la base (e2,e1) et la seconde dans la base (e1,e2). Elle n'ont pas même noyau, ni même image ; par contre leurs noyau dans R^2 sont bien les représentations, respectivement dans les bases (e2,e1) et (e1,e2), du noyau de f (qui est vect{e2}).

[Isacu]

A= (0 0)
(0 1)
et
B= (1 0)
(0 0)
sont semblables (on permute juste les 2 vecteurs de la base ici) et pourtant le ker de ces deux matrices sont différents.

C'est du au fait qu'un ker s'exprime dans les coordonnées d'une base soit ici ker(A) = vect([1,0]) et ker(B) = vect([0,1]) et comme quand tu changes de base, tu change de système de coordonnées, donc l'expression de ton ker change (comme le dit VanXoO).

Mais après pour un physicien ça reste les mêmes vecteurs au fond, c'est juste qu'ont les a écrit différemment, donc on va avoir du coup tout un tas de propriétés qui vont se conserver: taille du ker(f), taille de ker(f^n), si le ker est supplémentaire avec l'image, ...

[Koppnayw]

Oui, le ker est le même dans le sens où les vecteurs le composant sont les mêmes mais exprimés dans des bases différentes.
Quand on parle du noyau d'une matrice A, on écrit souvent après l'avoir calculé avec la méthode du pivot de Gauss, kerA = Vect(C1,...,Cn), avec Ci la colonne composante d'un vecteur de ker A dans la base canonique. Si on change de base, on n'obtient plus le même Vect(...) mais c'est parce qu'alors il faut voir les nouvelles colonnes comme les composantes dans la nouvelle base.

"Est-ce que le noyau change par multiplication par une matrice inversible ?"
Le rang ne change pas, et donc avec le théorème du rang la dimension du noyau non plus.
Si on multiplie A à gauche par une matrice B inversible, si X appartient à ker(BA), alors BAX=0, puis AX=0 en multipliant à gauche par B^(-1) donc ker(BA)=ker(A).
Si on multiplie à droite par B, alors comme précédemment on a ker(AB)=ker(B^(-1)AB) et on retrouve des matrices semblables (A et B^(-1)AB) donc le ker est le même à isomorphisme près.

Pour la question sur les projecteurs, le ker reste évidemment le même.

Conclusion : La matrice d'une application linéaire ne veut absolument rien dire, la matrice d'une application linéaire dans une base là à un sens.

J'espère ne pas avoir dit de bêtises.

[Clara3]

Ok merci pour toutes vos réponses!
Bon si j'ai bien compris la difficulté se trouve etre dans le fait que une matrice peut représenter une infinité d'endomorphismes selon la base utilisée, et inversement un endomorphisme peut s'exprimer par une infinité de matrices selon la base utilisée??

VanXoO désolée de t'embêter encore, mais je n'ai pas compris la fin de ta démo, comment tu passes de P-1X appartient à kerB à X appartient à PkerB?

[VanXoO]

de manière générale, avec A un ensemble de matrices : P-1 X appartient à A <=> il existe Y dans A tel que P-1X=Y <=> il existe Y dans A tel que X=PY <=> X appartient à PA