Question sur un exercice des applications

[Clement44]

Bonjour, je suis en train de faire des exercices sur les applications, mais là je bloque sur un.
Énoncé :
"Soient E,F,G trois ensemble, f:E-->F et g:F-->G deux applications.
Montrer que :
1- Si g (rond) f est injective et f surjective alors g est injective .
2- Si g (rond) f est surjective et g injective, alors f est surjective."
Voici le problème, c'est que ce que j'arrive pas à me défaire des théorèmes.
Des idées pour me lancer sur la 1 car la 2 semble similaire ?
Ps: juste des pistes ne faites pas tout svp
Merci d'avance

[Lily1998]

Pars de ce que tu veux démontrer. Tu veux montrer que g est surjective. Qu'est-ce que ça veut dire ? Que tout élément de l'ensemble d'arrivé admet un antecédent par g. Utilise tes hypothèses pour le prouver.

[mrordinal]

$ f\circ g $ n'a aucun sens sauf précision supplémentaire

[Clement44]

Tu veux montrer que g est surjective.

Non justement, ce n'est pas la démonstration des théorèmes. Je veux montrer que g est injective quand g rond f est injective et que f est surjective.

$ f\circ g $ n'a aucun sens sauf précision supplémentaire

Il me semble que si, les ensembles sont les seuls précisons que j'ai et normalement nous pouvons y arriver comme ça.

[mrordinal]

Pour que $ f\circ g $ ait un sens, il faut que $ g $ soit à valeurs dans l'ensemble de départ de $ f $, donc que $ g(F)\subset E $. Donc soit tu as oublié une hypothèse, soit tu as confondu $ f\circ g $ avec $ g\circ f $.

Par contre, il n'y a pas de problème pour $ g\circ f $ car l'ensemble d'arrivée de $ f $ est égal à celui de départ de $ g $ donc on a bien $ f(E)\subset F $.

[Clement44]

Désolé faute d'inattention c'est bien g rond f, donc aurais - tu un tip ?

[Kallio]

Tu veux montrer que g est surjective.

Non justement, ce n'est pas la démonstration des théorèmes. Je veux montrer que g est injective quand g rond f est injective et que f est surjective.

Ce n'est pas ce que tu as écris dans ton message initial.
Par ailleurs, la remarque de Lily1998 est toujours valable : pars de ce que tu veux démontrer (g injective) et utilise les hypothèses à ta disposition.

Donc pour commencer, que veut dire "g injective" ?

[Clement44]

Tu veux montrer que g est surjective.

Non justement, ce n'est pas la démonstration des théorèmes. Je veux montrer que g est injective quand g rond f est injective et que f est surjective.

Ce n'est pas ce que tu as écris dans ton message initial.
Par ailleurs, la remarque de Lily1998 est toujours valable : pars de ce que tu veux démontrer (g injective) et utilise les hypothèses à ta disposition.

Donc pour commencer, que veut dire "g injective" ?

Vraiment désolé la fatigue m'a visiblement prit lors de la rédaction de l'énoncé.
On veut montrer que g injective donc on doit montrer que tout élément de l'ensemble d'arriver G admet au plus un antécédent dans F par g.

[JeanN]

Ou alors, tu peux poser a et b deux éléments de F tels que g(a)=g(b) et tu écris "montrons que a=b"
Ce que tu dois montrer est suffisamment simple pour songer maintenant à utiliser une hypothèse (par exemple la surjectivité de f pour commencer)...

[jmctiti]

Bonsoir

Je pense que la première chose est de faire un petit schéma
$ \begin{array}{c}E\overset{f}{\rightarrow}F\overset{g}{\rightarrow}G\end{array} $
Ça évite déjà de se tromper dans le sens de composition.

Puis, si l'on veut prouver que $ g $ est injective, on se prend donc $ y_1 $ et $ y_2 $ dans $ F $ tels que $ g(y_1)=g(y_2) $

On est donc dans la situation suivante $ \begin{array}[t]{c}E\overset{f}{\longrightarrow}F\overset{g}{\longrightarrow}G\\ { y_1 \atop y_2} \end{array} $ avec $ g(y_1)=g(y_2) $

On peut alors essayer d'utiliser les hypothèses : on a $ g \circ f $ injective, et $ f $ surjective.

SPOILER:

Au vu du schéma, c'est la seconde qu'il faut utiliser. On peut trouver $ x_1\in E $ et $ x_2\in E $ tels que
$$ \begin{array}[t]{c}E\overset{f}{\longrightarrow}F\overset{g}{\longrightarrow}G\\ { y_1=f(x_1) \atop y_2=f(x_2)} \end{array} $$

Il n'y a plus qu'à utiliser l'aute hypothèse

SPOILER:

car $ g(y_k) = (g\circ f)(x_k) $