Sous-espace vectoriel fermé

[mechiche]

$ \mathbb{Q} $, qui est un ouvert

$ \mathbb{Q} $ n’est pas un ouvert de $ \mathbb{R} $.

En effet. Les concours s'annoncent bien

[siro]

Vaut mieux que tu fasses la bourde ici que pendant tes concours.

[oty20]

En effet. Les concours s'annoncent bien

ne t’inquiète pas , on va pas te sortir Q ou Z ou N dans les écrits , a part si tu passes x-ens .

[Sylve]

Hum, j'ai médité la chose et ne vois pas le problème dans ce que j'ai écrit...

Si je suis mon cours, les boules d'une partie A d'un espace vectoriel normé (E, ||.||) sont les boules de E intersectées avec A. On définit ainsi une topologie induite sur A, et on parle alors d'ouverts et de fermés relatifs à A.

Soit E un evn et F un sev de E et A une partie de F.

On n'a pas : A compact pour la topologie induite sur F implique A compact de E.
Exemple : ]0;1] est un compact de ]0,1] mais pas de R.

On n'a pas non plus : A fermé de F (i.e. fermé relatif à F) implique A fermé de E.
Exemple : Même exemple.

Est-ce correct ?

Edit : Un problème peut-être est de parler de compact de ]0;1]. Pas sûr que ça soit légal. Du moins en cours on a vu que des compacts d'espaces vectoriels.

[matmeca_mcf1]

On n'a pas : A compact pour la topologie induite sur F implique A compact de E.
Exemple : ]0;1] est un compact de ]0,1] mais pas de R.

]0,1] n'est pas un compact de ]0,1]. En fait, un ensemble n'est pas un compact de/dans. Il est un compact (pour une certaine norme/distance/topologie) ou il n'est pas un compact.

[Osvatski]

Bolzano Weierstrass assure que la valeur d'adhérence appartienne à A ?

Pas à ce que je sache

[mechiche]

Bolzano Weierstrass assure que la valeur d'adhérence appartienne à A ?

Pas à ce que je sache

J'applique Bolzano Weierstrass sur le sev de dim finie A, muni de la norme de E, à une suite d'éléments de cet ensemble. Je ne suis pas sûr que cela ait un sens de dire "la suite converge, mais pas vers un élément de A"... En tout cas, on a définie (en MPSI...) la convergence d'une suite d'un espace donné vers un élément de cet espace, mais jamais vers "autre chose"...

[Syl20]

Hum, j'ai médité la chose et ne vois pas le problème dans ce que j'ai écrit...

Si je suis mon cours, les boules d'une partie A d'un espace vectoriel normé (E, ||.||) sont les boules de E intersectées avec A. On définit ainsi une topologie induite sur A, et on parle alors d'ouverts et de fermés relatifs à A.

Soit E un evn et F un sev de E et A une partie de F.

On n'a pas : A compact pour la topologie induite sur F implique A compact de E.
Exemple : ]0;1] est un compact de ]0,1] mais pas de R.

En fait tu n'as pas de "compacts induits" comme les ouverts ou les fermés : il faut revenir à la définition d'un compact comme espace (métrique) dans lequel toute suite admet une valeur d'adhérence, et on voit comme le dit matmeca que la compacité est "intrinsèque".
Si C est un compact d'une partie A de E avec la topologie "induite" (donc où la distance, si tu connais le concept est $ d(x,y)=||x-y|| $), alors toute suite de C admet une valeur d'adhérence dans C s'écrit $ \exists l \in C, \exists \phi ,||x_{\phi (n)}-l||\to 0 $. On voit bien que c'est aussi vrai si on voit C comme un sous-ensemble de E.
Par contre, on a bien que si A est fermé et C compact de E, alors $ A\cap C $ est compact

[siro]

On peut voir autrement : ]0,1] n'est pas borné à droite *dans* lui-même. (Comme R^{-}.)

C'est pas pour rien que compacts <=> fermés bornés en dimension finie.