Exercices de MPSI

[Desert]

Euh...

[JeanN]

Un terminale a le droit de participer à tous les fils d’exos qu’il souhaite.
Merci de poster les futurs exos au bon endroit sinon je modère sauvagement

[matmeca_mcf1]

Pourrais-je avoir un lien vers le fil d'exos de spé? Je n'arrive pas à le trouver. Et est-ce que les exercices des concours généraux des années 90 sont OK pour ce fil.

[Saber]

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... start=6450

[matmeca_mcf1]

Un vieil exercice de terminale: je ne sais pas s'il est encore faisable vu le peu de géométrie dans les programmes:

Soit A et B deux points du plans et D une droite. A et B étant tous les deux situés dans le même demi-plan délimité par D et n'appartenant pas à la droite D. Construire à la règle et au compas le point M appartenant à D tel que l'angle géométrique entre MA et D soit le double de l'angle géométrique entre MB et D.

[JeanN]

Pourrais-je avoir un lien vers le fil d'exos de spé? Je n'arrive pas à le trouver. Et est-ce que les exercices des concours généraux des années 90 sont OK pour ce fil.

Oui, tout exo de cg est évidemment le bienvenu dans le fil des terminales.

Et merci pour ta participation active et désolé d’être un peu rabat-joie

[matmeca_mcf1]

Ce lieu géométrique s'étudiait avant au lycée (en terminale?) et c'était pratiquement du cours. Je crois avoir compris que presque toute la géométrie a disparu de terminale. donc ce ne devrait plus faire partie du cours de terminale mais cela peut constituer un exercice. Une version utilisant les complexes a fait l'objet de quelques questions dans l'épreuve de secours maths B de l'X de cette année. Cela ne doit pas vous effrayer. Je trouve la version avec les nombres complexes plus dure à manipuler (pour une fois). C'est très simple si on maîtrise le produit scalaire euclidien dans le plan (dans $ \mathbb{R}^2 $) et quelques propriétés géométriques. C'est plus facile si on connait les barycentres. Il semble qu'ils ne seraient plus au programme?

Soit $ \lambda>0 $ Soient $ A $ et $ B $ deux points du plan. On note $ \mathcal{G} $ le lieu de tous les points $ M $ tel que $ AM=\lambda BM $. Le but est de décrire $ \mathcal{D} $ en fonction de la valeur de $ \lambda $

1. Décrire $ \mathcal{G} $ quand $ \lambda=1 $.
2. Soit deux réels $ a $ et $ b $ tel que $ a+b\neq0 $. Montrez qu'il existe un unique point $ G $ tel que
   $ a\vec{GA}+b\vec{GB}=\vec{0} $. Montrez que pour tout point $ P $, $ a\vec{AP}+b\vec{BP}=(a+b)\vec{GP} $.
3. On suppose dorénavant que $ \lambda\neq 1 $. Montrez qu'il existe deux points $ C $ et $ D $ tels que pour tout point du plan $ M $, on a
   $$
   M\in\mathcal{G}\iff\vec{CM}\cdot\vec{DM}=\vec{0}.
   $$
4. En déduire que $ \mathcal{G} $ est le cercle de diamètre $ [CD] $.
5. BONUS, quel est le lieu de tous les points $ M $ tel que $ AM\leq\lambda BM $?

[Errys]

Merci pour les exos, comme toujours !
Tu as raison, il reste très peu de géométrie au programme... Je vais essayer de faire ton deuxième exercice aujourd'hui !

[Errys]

Pour l'exercice de géométrie (pas facile, j'ai pas l'habitude de la géométrie ^^) :

SPOILER:

1. Quand $ \lambda = 1 $, on cherche les points M tels que $ AM=BM $ donc $ \mathcal{G} $ représente la médiane de $ [AB] $.

2. En posant $ A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), G(x_g, y_g) $ :

$ \displaystyle a\vec{GA}+b\vec{GB} = \vec{0} $
$ \displaystyle \iff a(x_a-x_g)+b(x_b-x_g)=0\text{ et } a(y_a-y_g)+b(y_b-y_g)=0 $
$ \displaystyle \iff x_g(a+b) = ax_a+bx_b\text{ et } y_g(a+b) = ay_a + by_b $
$ \displaystyle \iff x_g = \dfrac{ax_a+bx_b}{a+b}\text{ et } y_g=\dfrac{ay_a+by_b}{a+b} $

Donc $ G\left(\dfrac{ax_a+bx_b}{a+b}, \dfrac{ay_a+by_b}{a+b}\right) $ est l'unique point tel que $ \displaystyle a\vec{GA}+b\vec{GV}=\vec{0} $

Ainsi, avec $ P(x_b, y_p) $ il vient:
$ \displaystyle (a+b)\vec{GP} = \left((a+b)x_p - ax_a-bx_b, (a+b)y_p - ay_a-by_b\right) $
$ =\left( a(x_p-x_a) + b(x_p-x_b), a(y_p-y_a) + b(y_p-y_b)\right) = a\vec{AP} + b\vec{BP} $

3. En prenant $ a=1, b=\lambda $ on trouve C tel que pour tout point P, $ \vec{AP} +\lambda\vec{BP} = (1+\lambda)\vec{CP} $
En prenant $ a=1, b=-\lambda $, on trouve D tel que pour tout point P, $ \vec{AP} -\lambda\vec{BP} = (1-\lambda)\vec{DP} $
En sommant les deux égalités il vient :
$ \vec{AP} = \dfrac{(1+\lambda)\vec{CP}+(1-\lambda)\vec{DP}}{2} $
Et en faisant la différence :
$ \lambda\vec{BP} = \dfrac{(1+\lambda)\vec{CP}-(1-\lambda)\vec{DP}}{2} $

Pour conclure:
$ P\in\mathcal{G}\iff \| \vec{AP}\| = \lambda \| \vec{BP} \| \iff \|\vec{AP}\| = \|\lambda\vec{BP}\| $
$ \iff \| (1+\lambda)\vec{CP} + (1-\lambda)\vec{DP}\| = \| (1+\lambda)\vec{CP} - (1-\lambda)\vec{DP}\| $

En utilisant la formule : $ \| \vec{A}+\vec{B}\| = \sqrt{\|\vec{A}\|^2+\|\vec{B}\|^2 + 2\vec{A}\centerdot\vec{B}} $

$ P\in\mathcal{G}\iff \| (1+\lambda)\vec{CP}\|^2 + \|(1-\lambda)\vec{DP}\|^2 + 2(1+\lambda)\vec{CP}\centerdot(1-\lambda)\vec{DP} =(1+\lambda)\vec{CP}\|^2 + \|(1-\lambda)\vec{DP}\|^2 - 2(1+\lambda)\vec{CP}\centerdot(1-\lambda)\vec{DP} $
$ \iff (1+\lambda)\vec{CP}\centerdot (1-\lambda)\vec{DP}=0\iff \vec{CP}\centerdot\vec{DP}=0 $.

4. Soit P un point de $ \mathcal{G} $. Comme $ \vec{CP}\centerdot\vec{DP}=0 $, le rectangle CPD est rectangle en P, donc il est inscrit dans le cercle de diamètre [CD] donc P appartient au cercle de diamètre [CD].

5. À tout hasard, je dirais que ce sont tous les points à l'intérieur du cercle de diamètre [CD]. Je vais essayer de le démontrer une autre fois.

[matmeca_mcf1]

Pour 3, le plus facile est

SPOILER:

On va utiliser $ \vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}=(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) $.
$$
\lVert \vec{AM}\rVert=\lambda \lVert \vec{BM}\rVert\\
\iff \lVert \vec{AM}\rVert^2-\lambda^2 \lVert \vec{BM}\rVert^2=0 \\
\iff (\vec{AM}-\lambda \vec{BM})\cdot(\vec{AM}+\lambda \vec{BM})=0
$$