Permutation dérivées mécanique analytique

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Permutation dérivées mécanique analytique

Message par driagon » 08 juin 2018 22:35

Bonjour ! J'ai besoin de votre aide pour démontrer cette égalité: $$ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt}}\frac{\partial \vec{r}(q(t),t)}{\partial q}=\frac{\partial }{\partial q}\frac{\mathrm{d}\vec{r}(q(t),t)}{\mathrm{dt}} $$
en partant de la formule de la chaîne on a $$ \frac{\mathrm{d}\vec{r}(q(t),t)}{\mathrm{dt}}=\sum _{i}\dot{q_{i}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \vec{r} }{\partial t} $$
et en utilisant cette formule et le fait que $$ \frac{\partial }{\partial q}=\sum_{i}\frac{\partial }{\partial q_{i}} $$
On développe et on trouve
$$ \frac{\partial}{\partial q}\frac{\mathrm{d}\vec{r}(q(t),t)}{\mathrm{dt}}=\sum _{i}\sum_{i}\frac{\partial }{\partial q_{i}}(\dot{q_{i}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}})+\sum_{i}\frac{\partial^2 \vec{r} }{\partial q_{i}\partial t} $$
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\frac{\partial \vec{r}(q(t),t)}{\partial q}=\sum _{i}\sum_{i}\dot{q_{i}}\frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q_{i}^2}+\sum_{i}\frac{\partial^2 \vec{r} }{\partial q_{i}\partial t} $$
Du coup, le seul problème qui reste c'est de sortir $ \dot{q_{i}} $ de $ \frac{\partial }{\partial q_{i}}(\dot{q_{i}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}) $ ce qui revient à dire que $ \dot{q_{i}} $ ne dépend pas de $ q_{i} $, ce qui m'a l'air faux si $ q_{i} $ respecte une équa diff d'ordre 1
Si Vivaldi avait vécu à notre époque, il ferait du Hard Rock ou du Métal, il a toujours été un musicien métallique au bon sens du terme ! (Jean-Michel Jarre).

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Re: Permutation dérivées mécanique analytique

Message par Tompouce67 » 09 juin 2018 09:10

q est une variable scalaire ou vectorielle ?
J’ai pas l’impression qu’il y a un gradient ici vue la façon dont c’est écrit donc tu peux sans doute te restreindre au cas où q est réelle.

Dans le cas vectoriel, tu as écrit des trucs un peu bizarre.
Ta formule de d/dq est fausse dans le cas général : d/dq est un vecteur alors que la somme des d/dqi est un scalaire.
Ensuite quand tu as des doubles sommes, il faut introduire des indices différents.
2008-2010 Lycée Kléber Strasbourg (MPSI4 - MP*)
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Re: Permutation dérivées mécanique analytique

Message par driagon » 09 juin 2018 10:12

q c'est$ q=(q_{i})_{1\leq i\leq n} $ l'ensemble des coordonées généralisées donc ouai c'est vectoriel, le truc du coup c'est que je sais pas ce que $ \frac{\partial}{\partial q} $ représente, ils le disent pas clairement dans le livre où l'exo est. Ah ok merci pour les doubles sommes j'avais pas remarqué :)
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Re: Permutation dérivées mécanique analytique

Message par Tompouce67 » 09 juin 2018 10:44

driagon a écrit :
08 juin 2018 22:35
Du coup, le seul problème qui reste c'est de sortir $ \dot{q_{i}} $ de $ \frac{\partial }{\partial q_{i}}(\dot{q_{i}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}) $ ce qui revient à dire que $ \dot{q_{i}} $ ne dépend pas de $ q_{i} $, ce qui m'a l'air faux si $ q_{i} $ respecte une équa diff d'ordre 1
Pour ça, il faut comprendre un peu à quoi correspondent les différents termes (sachant que les notations employées ici ne sont pas très rigoureuses si elles sont données comme ça dans l'énoncé).
De manière générale, tu manipules ici des fonctions
$ f: (q,t)\rightarrow f(q,t) $
et leurs dérivées par rapport à q ou t
q ou t sont simplement les arguments réels et pas des fonctions
$ \frac{\partial f}{\partial q} $ ou $ \frac{\partial f}{\partial t} $ correspond ainsi à la dérivée par rapport à la première ou la deuxième variable, indépendamment du point où cette fonction est évaluée.

Plus spécifiquement,
$ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt}}\frac{\partial \vec{r}(q(t),t)}{\partial q} $
devrait plutôt s'écrire
$ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt}}\left(\frac{\partial \vec{r}}{\partial q}(q(t),t)\right) $
$ =\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t)\frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q^2}(q(t),t) + \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q \partial t}(q(t),t) $

et de la même manière
$ \frac{\partial }{\partial q}\frac{\mathrm{d}\vec{r}(q(t),t)}{\mathrm{dt}} $
devrait plutôt s'écrire
$ \frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\vec{r}(q(t),t))\right) $
Et encore, la notation ici reste abusive parce que
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\vec{r}(q(t),t)) $
est la dérivée par rapport à t de la fonction
$ g: t\rightarrow \vec{r}(q(t),t) $
(fonction d'une seule variable)
En étant absolument rigoureux, la notation
$ \frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(g(t))\right) $
n'a donc pas de sens.

Malgré tout, essayons de jouer le jeu
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\vec{r}(q(t),t))=\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t) \frac{\partial \vec{r}}{\partial q}(q(t),t) + \frac{\partial \vec{r}}{\partial t}(q(t),t) $
À ce stade, on peut définir une fonction
$ h: (x,q,t) \rightarrow x \frac{\partial \vec{r}}{\partial q}(q,t) + \frac{\partial \vec{r}}{\partial t}(q,t) $
On a donc $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(g(t))=h(\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t),q(t),t) $
Et on peut définir
$ \frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(g(t))\right) = \frac{\partial h}{\partial q}(\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t),q(t),t) $
avec
$ \frac{\partial h}{\partial q}(x,q,t) = x \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q^2}(q,t) + \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q \partial t}(q,t) $
Donc
$ \frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\vec{r}(q(t),t))\right) $
$ = \frac{\partial h}{\partial q}(\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t),q(t),t) $
$ = \frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t) \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q^2}(q(t),t) + \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q \partial t}(q(t),t) $
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Re: Permutation dérivées mécanique analytique

Message par Néodyme » 09 juin 2018 10:57

Pour répondre directement à sa question, $ q_i $ et $ \dot{q}_i $ sont des variables indépendantes. Tout comme $ q_i $ et $ p_i $ en formalisme de Hamilton. Donc $ \dfrac{\partial}{\partial q_i}\dot{q}_i=0 $
Ou je dis une bêtise ?

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Re: Permutation dérivées mécanique analytique

Message par Tompouce67 » 09 juin 2018 11:20

Néodyme a écrit :
09 juin 2018 10:57
Pour répondre directement à sa question, $ q_i $ et $ \dot{q}_i $ sont des variables indépendantes. Tout comme $ q_i $ et $ p_i $ en formalisme de Hamilton. Donc $ \dfrac{\partial}{\partial q_i}\dot{q}_i=0 $
Ou je dis une bêtise ?
Il faut définir ce que tu appelles $ \dfrac{\partial}{\partial q_i}(\dot{q}_i) $
En étant absolument rigoureux, c'est nul mais $ \dfrac{\partial}{\partial q_i}(q_i(t)) $ est nul également puisque $ q_i(t) $ dépend de t et pas de $ q_i $.
De manière générale, les argument des dérivées partielles ($ \dfrac{\partial}{\partial q_i}, \dfrac{\partial}{\partial t} $...) font toujours référence à une définition précise de la fonction à dériver.
Ce ne sont pas des notations intrinsèques.
Par exemple, imaginons $ f: (a,b)\rightarrow f(a,b) $
La notation $ \dfrac{\partial f(a,b)}{\partial x} $ est mal définie parce que f n'a jamais été définie avec x comme argument.
On pourrait dire $ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 0 $ mais qu'est-ce qui m'empêche de définir $ x=a/2 $ et, de dire $ \dfrac{\partial f(a,b)}{\partial x} = \dfrac{\partial f(2x,b)}{\partial x} = 2\dfrac{\partial f} {\partial a}(2x,b) = 2\dfrac{\partial f} {\partial a}(a,b) $ ?
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Re: Permutation dérivées mécanique analytique

Message par Ewind » 09 juin 2018 12:07

Néodyme a écrit :
09 juin 2018 10:57
Pour répondre directement à sa question, $ q_i $ et $ \dot{q}_i $ sont des variables indépendantes. Tout comme $ q_i $ et $ p_i $ en formalisme de Hamilton. Donc $ \dfrac{\partial}{\partial q_i}\dot{q}_i=0 $
Ou je dis une bêtise ?
Non, c'est bien ça. Oui elles peuvent vérifier une équation différentielle mais par principe, en formalisme lagrangien, elles sont indépendantes.

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Re: Permutation dérivées mécanique analytique

Message par AlbanXIII » 11 juin 2018 18:29

Ewind a écrit :
09 juin 2018 12:07
Non, c'est bien ça. Oui elles peuvent vérifier une équation différentielle mais par principe, en formalisme lagrangien, elles sont indépendantes.
Pour compléter on peut se reporter au tome 1 du cours de physique théorique de Landau et Lifchitz.
Ou bien aux livres de Gignoux et Silvestre-Brac "Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien" et "Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours - de Lagrange à Hamilton". Ne pas hésiter à faire les problèmes de ce dernier livre, c'est formateur.
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Re: Permutation dérivées mécanique analytique

Message par siro » 11 juin 2018 18:35

Ewind a écrit :
09 juin 2018 12:07
Néodyme a écrit :
09 juin 2018 10:57
Pour répondre directement à sa question, $ q_i $ et $ \dot{q}_i $ sont des variables indépendantes. Tout comme $ q_i $ et $ p_i $ en formalisme de Hamilton. Donc $ \dfrac{\partial}{\partial q_i}\dot{q}_i=0 $
Ou je dis une bêtise ?
Non, c'est bien ça. Oui elles peuvent vérifier une équation différentielle mais par principe, en formalisme lagrangien, elles sont indépendantes.
Je confirme.

[Note : $ t $ peut également être définie comme une variable indépendante (par l'introduction de la variable $ \tau = t $ sa variable conjuguée $ T $, afin de supprimer t du hamiltonien) ; donc on peut considérer sans perte de généralité en formalisme hamiltonien que ledit hamiltonien est stationnaire . Je ne me rappelle plus comment qu'on la supprime en formalisme lagrangien.]
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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