Algèbre

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Pi à la Fraise

Algèbre

Message par Pi à la Fraise » 14 juin 2008 10:06

Bonjour,

Je bloque sur un exo d'oral de maths: On me demande de determiner les matrices A de Mn(R) telles que AtAA=In...

J'ai essayé plusieurs cas particuliers (genre la matrice nulle, la matrice identité, les matrices symetriques, les matrices inversibles etc...) mais je n'arrive pas à une conclusion générale.

Merci d'avance.

ThSQ

Message par ThSQ » 14 juin 2008 10:32

Une façon de faire (un peu compliqué, y'a plus simple c'est sûr ) :

(AtA)A=In donc A(AtA) = In aussi

A et AtA commutent et AtA est diagonalisable (nota du benêt : et A aussi ...) donc sont co-diagonalisables et là c'est fini.
Dernière modification par ThSQ le 14 juin 2008 12:03, modifié 1 fois.

Madec

Message par Madec » 14 juin 2008 11:18

ThSQ a écrit :Une façon de faire (un peu compliqué, y'a plus simple c'est sûr ) :

(AtA)A=In donc A(AtA) = In aussi

A et AtA commutent et AtA est diagonalisable donc sont co-diagonalisables et là c'est fini.
N'est ce pas plutôt , si A et B commutent et sont toutes deux diagonalisables alors elles sont codiagonalisables ?

car sinon toute matrice serait diagonalisable .
BId=IdB Id diagonalisable donc B diagonalisable pour tout B

ThSQ

Message par ThSQ » 14 juin 2008 11:24

Bien sur tu as raison, j'ai oublié de dire que A = (tAA)^-1 est diago aussi.

mandourin

Message par mandourin » 14 juin 2008 12:50

On peut commencer par montrer que A est symétrique.

Madec

Message par Madec » 14 juin 2008 13:25

mandourin a écrit :On peut commencer par montrer que A est symétrique.
AtAA =In donc tAA=A^-1 soit AtA=tAA

puis AtAA =tAAtA
puis tAA = A^-1 tAAtA =A^-1 AtA tA
soit tA A= tA tA
soit A =tA

....

cezxjo

Message par cezxjo » 14 juin 2008 15:48

donc A^3=In dans Mn(R),

elle est symétrique réelle donc elle est diagonnalisable à valeurs propres réelles, donc seul 1 peut être valeur propre (pas de j ou j^2), c'est l'identité...

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Re: Algèbre

Message par Ice2Lux » 25 juin 2018 10:43

Bonjour,
"(AtA)A=In donc A(AtA) = In aussi "

Je n'ai pas compris cette affirmation. Y'a-t-il un rapport avec la symétrie de (AtA)?

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Re: Algèbre

Message par Nabuco » 25 juin 2018 11:45

Ice2Lux a écrit :
25 juin 2018 10:43
Bonjour,
"(AtA)A=In donc A(AtA) = In aussi "

Je n'ai pas compris cette affirmation. Y'a-t-il un rapport avec la symétrie de (AtA)?
La première égalité donne que l inverse de A est AtA ce qui donne la deuxième égalité.

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Re: Algèbre

Message par Ice2Lux » 25 juin 2018 11:55

Des cas ou AB=In et pas BA, il en existe plein. il manque une hypothèse qui parait peut-être évidente mais que je ne vois pas non?

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