Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[Zetary]

Dattier : en effet, c'est simplement la formulation de l'exo que je questionnais

Si les polynômes ne sont pas au programme, il serait bon de modifier le message introductif en ce sens (par ailleurs je me demande pourquoi on ne dit pas le théorème de de Moivre-Laplace)

Par ailleurs une question pour JeanN : est-il autorisé de donner des exercices sur la continuité en en donnant la définition (séquentielle) ?

[Errys]

Non Dattier, je ne suis pas HP ! La factorisation de polynome par ses racines est au programme de 1ere

[JeanN]

Dattier : en effet, c'est simplement la formulation de l'exo que je questionnais

Si les polynômes ne sont pas au programme, il serait bon de modifier le message introductif en ce sens (par ailleurs je me demande pourquoi on ne dit pas le théorème de de Moivre-Laplace)

Par ailleurs une question pour JeanN : est-il autorisé de donner des exercices sur la continuité en en donnant la définition (séquentielle) ?

Non

[Errys]

Je veux bien les exos en mp s'il-te-plaît, si ça te dérange pas :p

[JeanN]

Je veux bien les exos en mp s'il-te-plaît, si ça te dérange pas :p

Ou alors , il poste des exos dans le fil mpsi.

[Zehir]

Exercice 6 (?)

Soit $ p \in \mathbb{R} $
Déterminer les solutions dans $ \mathbb{C} $ de l'équation suivante : $ (z-i)^4 + p^2(z^2 + 1)^2 = 0 $

J'ose espérer que cet exo passera la censure, car même si je ne suis plus tout à fait à jour sur le programme de terminale, il me semble que les notions nécessaires sont au progrramme.

[Chronoxx]

Exercice 6 (?)

Soit $ p \in \mathbb{R} $
Déterminer les solutions dans $ \mathbb{C} $ de l'équation suivante : $ (z-i)^4 + p^2(z^2 + 1)^2 = 0 $

J'ose espérer que cet exo passera la censure, car même si je ne suis plus tout à fait à jour sur le programme de terminale, il me semble que les notions nécessaires sont au progrramme.

Oui, tout à fait à la portée d'un TS. ^^

Wow, beaucoup de futurs élèves de LLG ici

[matmeca_mcf1]

Comme les exos du concours général sont faisables en terminale, voici un exercice du concours général de 1997.

Exercice 7
On dispose 1997 jetons sur un cercle. Chaque jeton est numéroté avec un entier relatif. La somme de tous les numéros est égal à 1. Peut-on choisir un jeton telle que si on part de ce jeton en suivant le sens trigonométrique, la somme de tous les jetons que l'on a traversés reste toujours strictement positive? (On s'arrête quand on revient au jeton de départ). Si un tel jeton existe, le choix du jeton est-il unique?

Il est faisable: j'y avais répondu pendant l'épreuve alors que j'étais en terminale.

[1sala23]

Zehir, ton exercice me semble au programme, je vais essayer de le faire dès que j'ai fini les 5 précédents ^^

Voici ma solution pour l'exercice 1 :

SPOILER:

Nous avons f(x)= x+1 et g(x)=$ \frac{x}{x+1} $
Notons $ u_{n} $ la valeur du numérateur à la n-ème étape et $ v_{n} $ celle du dénominateur.
On a donc x=$ \frac{u_{n}}{v_{n}} $
Si on applique (je sais pas quel mot convient, désolé) la fonction f à x, on obtient $ u_{n+1}=u_{n}+v_{n} $ et $ v_{n+1}=v_{n} $ et si on applique la fonction g à x, on obtient $ u_{n+1}=u_{n} $ et $ v_{n+1}=u_{n}+v_{n} $
$ $

On cherche à obtenir $ u_{n} $=7891 et $ v_{n} $=1987

Or, on remarque que 7891 = 3*1987 + 1930 donc si l'on a $ u_{k} $=1930 et $ v_{k} $=1987, après avoir appliqué 3 fois la fonction f(x) on aboutit au résultat voulu.
On peut réitérer ce résultat plusieurs fois avec l'algorithme d'Euclide qui nous donne :
7891 = 3*1987 + 1930
1987 = 1*1930 + 57
1930 = 33*57 + 49
57 = 1*49 + 8
49 = 6*8 + 1
8 = 7*1 + 1 (je ne mets pas 0 comme dans un algorithme d'Euclide classique simplement car $ u_{0} $=$ v_{0} $=1)

Ainsi, en remontant l'algorithme d'Euclide on applique la fonction g k fois (avec k le nombre qui multiplie le reste de la ligne du dessus) et on "change" de fonction à chaque fois que l'on doit changer de ligne. On applique donc g 7 fois, ce qui nous donne $ \frac{1}{8} $. Ensuite, on effectue f 6 fois, on obtient $ \frac{49}{8} $, puis g une fois ($ \frac{49}{57} $, puis f 33 fois ($ \frac{1930}{57} $, puis g une fois ($ \frac{1930}{1987} $) et enfin f trois fois ce qui nous permet d'aboutir au résultat : $ \frac{7891}{1987} $.

Petit complément : on remarque donc que l'on peut exprimer toutes les fractions dont le dénominateur et le numérateur sont premiers entre eux (condition pour l'algorithme d'Euclide), soit pour toutes les fractions irréductibles soit pour l'ensemble des nombres rationnels.

EDIT : deux balises spoiler en 1 message, cela pose problème, j'ai scindé le message en deux.

[1sala23]

Pour l'exercice 4 :

SPOILER:

Pour la première :

$ A_{x}=\int_{0}^{x}E(t)dt $
$ = \sum_{i=1}^{E(x)}\int_{i-1}^{i}(i-1)dt + \int_{E(x)}^{x}E(t)dt $
$ = \sum_{i=1}^{E(x)}(i-1) + E(x)*(x-E(x)) $
$ = \sum_{i=0}^{E(x)-1}i + E(x)*(x-E(x)) $
$ = \frac{(E(x)-1)(E(x)-1+1)}{2} + E(x)*(x-E(x)) $
$ = E(x)*(\frac{(E(x)-1)}{2} + (x-E(x))) $
$ = E(x)*(\frac{(2x-E(x)-1)}{2}) $

Pour la deuxième :

Notons n le plus grand entier tel que $ \frac{\ln n}{\ln 2} \leq x $ (soit $ \log_{2} (n) \leq x $)

On a donc $ n\leq 2^{t}<n+1 \Leftrightarrow \log_{2} (n) \leq t< \log_{2} (n+1) $

$ B_{x}=\int_{0}^{x}E(2^{t})dt $

$ = \sum_{i=2}^{n}\int_{\log_{2} (i-1)}^{\log_{2} (i)}E(2^{t})dt + \int_{\log_{2} (n)}^{x}E(2^{t})dt $

$ = \sum_{i=2}^{n}\int_{\log_{2} (i-1)}^{\log_{2} (i)}idt + \int_{\log_{2} (n)}^{x}ndt $

$ = \sum_{i=2}^{n}i(\log_{2} (\frac{i}{i-1})) + n(x-\log_{2} (n)) $

$ = \sum_{i=2}^{n}i(\log_{2} (i) - \log_{2} (i-1)) + n(x-\log_{2} (n)) $

$ = \sum_{i=2}^{n}i\log_{2} (i) - \sum_{i=2}^{n}i\log_{2} (i-1) + n(x-\log_{2} (n)) $

$ = n\log_{2}(n) + \sum_{i=2}^{n-1}i\log_{2} (i) - \sum_{i=1}^{n-1}(i+1)\log_{2}(i) + n(x-\log_{2} (n)) $

$ = n\log_{2}(n) + \sum_{i=2}^{n-1}i\log_{2} (i) - \sum_{i=2}^{n-1}i\log_{2}(i) - 1\log(1) - \sum_{i=1}^{n-1}\log_{2}(i) + n(x-\log_{2} (n)) $

$ = - \sum_{i=1}^{n-1}\log_{2}(i) + nx $

$ = - \log(n-1)! + nx $

Voilà, pour $ B_{x} $ il y a probablement une simplification qui rend ce résultat plus "beau", mais je ne l'ai pas trouvée x) si jamais elle est accessible niveau TS, je veux bien un indice

EDIT : Simplification faite

PS : Chronoxx, à LLG on est pas des chômeurs contrairement à certains

PPS : Matmeca_mcf1, pouvez vous numéroter votre exercice / problème dans la continuité des précédents, afin de garder une certaine logique dans ce fil

EDIT : Simplification de $ B_{x} $