Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[Errys]

C'est bon

[Chronoxx]

@1sala23

Pour la somme télescopique (HP):

SPOILER:

$ \displaystyle\sum_{i=2}^{n}i(\log_{2} (\frac{i}{i-1})) = \sum_{i=2}^{n} \log_{2} (\frac{i}{i-1})^i = \sum_{i=2}^{n} \log_{2}(\frac{i^{i+1}}{(i-1)^i} \frac{1}{i}) $

En posant $ b_n = \log_{2} (n-1)^n $, t'obtiens :
$ \displaystyle\sum_{i=2}^{n}i(\log_{2} (\frac{i}{i-1})) =\sum_{i=2}^{n} (b_{i+1} - b_i - \log_{2} (i)) $

Tout se simplifie normalement. Et on retombe sur le même résultat que t'as proposé

[dessab]

@Ali-H
Une bonne page pour aborder la rentrée en MPSI en toute sérénité : http://www.pcsi1.bginette.com/MSA/Page_Intro_MSA.html

Et je viens de voir une feuille sur le calcul que j'avais jamais vue.

[1sala23]

Chronoxx, oui j'ai vu ce qu'était une somme télescopique, bon c'est du HP assez léger on va dire xD mais je trouve plus simple de s'amuser avec les sommes x)
Mais merci pour m'avoir montré la méthode avec la somme télescopique !

[Zetary]

Exercice 16 : Si le quotient de deux suites monotones bornées est borné, est-il nécessairement convergent ?

[Errys]

Solution exercice 16 :

SPOILER:

Soit $ (u_n) $ et $ (v_n) $ les deux suites en question.
On a $ (u_n) $ monotone et bornée donc $ (u_n) $ converge vers un réel l.
De même, $ (v_n) $ converge vers un réel l'.

Si $ v_n\rightarrow 0 $ alors $ (1/v_n) $ diverge vers +/- infini donc par produit, $ (u_n/v_n) $ diverge vers +/- l'infini donc n'est pas borné ce qui est absurde.
D'où $ \lim\limits_{n\to+\infty}v_n\neq 0 $ et donc $ (1/v_n) $ converge vers 1/l'.
D'où $ u_n/v_n\rightarrow l/l' $

Donc la réponse est OUI.

[Wazzi]

Euh… et si $u_n$ converge vers $0$ aussi ?

[Zetary]

Je plussoie la remarque de Wazzi

[Errys]

Oops, c'est vrai.

[1sala23]

Voici ma solution pour le problème 6 :

SPOILER:

$ (z-i)^4 + p^2(z^2 + 1)^2 = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^4 + p^2(z-i)^2(z+i)^2 = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^2((z-i)^2+(p(z+i))^2) = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^2(z-i-ip(z+i))(z-i+ip(z+i)) = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^2(z-ipz-i-i^2p)(z+ipz-i+i^2p) = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^2 = 0 $ ou $ z(1-ip)-i+p = 0 $ ou $ z(1+ip)-i-p = 0 $
$ \Leftrightarrow z = i $ ou $ z = \frac{i-p}{1-ip} $ ou $ z = \frac{i+p}{1+ip} $
$ \Leftrightarrow z = i $ ou $ z = \frac{(i-p)(1+ip)}{1+p^2} $ ou $ z = \frac{(i+p)(1-ip)}{1+p^2} $
$ \Leftrightarrow z = i $ ou $ z = \frac{i-p-p-ip^2}{1+p^2} $ ou $ z = \frac{i+p+p-ip^2}{1+p^2} $
$ \Leftrightarrow z = i $ ou $ z = \frac{-2p}{1+p^2} + i\frac{1-p^2}{1+p^2} $ ou $ z = \frac{2p}{1+p^2} + i\frac{1-p^2}{1+p^2} $