Erreur de raisonnement

[AurelO]

Bonjour,

Je n'arrive pas à cerner l'erreur de raisonnement que je fais lorsque je pense au sujet suivant, si quelqu'un pouvait m'orienter...(pour les puristes je ne suis plus en prépa depuis longtemps, donc la formulation est certainement artisanale).

Si je prends deux cercles concentriques du plan, centrés en 0 et de rayon R et 3R par exemple.
Ensuite, je considère la demie-droite Ox croissants. Elle coupe chaque cercle en 1 point.
Je la fais tourner d'un tour. Tout au long de cette rotation elle coupe chaque cercle en un point.
J'imagine donc créer ainsi une bijection entre les deux cercles.
Donc, il y a le même nombre d'éléments (ie de points) dans les deux cercles). Mais 2PiR<2Pi3R. Ce qui me semble contradictoire (même nb de points mais pas "même longueur").

Je sens bien que le raisonnement pêche de coté indénombrabilité de la chose mais j'aimerais structurer la réponse.

Merci

Aurélien.

[Zetary]

Bonjour

Ce n’est pas contradictoire, la longueur n’est pas invariante par bijections (exemple x -> 2x de [0,1] dans [0,2] est une bijection)

[U46406]

Et si tu passes en géométrie polaire avec des coordonnées polaires ?

[AurelO]

Oui j'y ai pensé, mais c'est indépendant je pense de la où je coince.

Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).

[U46406]

En polaires, tu as Theta qui varie de 0 à 2 Pi ...

Tu as lu le message de Zetary ?

Tu as des soucis philosophiques par rapport à l'ensemble des réels R ??

[Zetary]

Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).

non si c’est la question, tous les points du deuxième cercle sont bien atteints

si tu veux (x,y) -> (3x, 3y) est la bijection entre tes deux cercles effectuée par ta demi-droite (en coordonnées cartésiennes)

[AurelO]

Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).

non si c’est la question, tous les points du deuxième cercle sont bien atteints

si tu veux (x,y) -> (3x, 3y) est la bijection entre tes deux cercles effectuée par ta demi-droite (en coordonnées cartésiennes)

Ok merci pour tes réponses.

[jmctiti]

Bonsoir

Il ne faut pas confondre la longueur d'un cercle de rayon $ R $, qui vaut $ 2 \pi R $,
avec le nombre de points qu'il contient, qui est toujours infini (sauf pour le cercle point, cad lorsque $ R=0 $).

[siro]

Oui j'y ai pensé, mais c'est indépendant je pense de la où je coince.

Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).

Hé bien... non.

Il y a autant d'éléments dans n'importe quel segment réel [a,b] où a<b. En fait, par définition, deux ensembles ont le même nombre d'éléments lorsqu'il existe une bijection entre ces deux ensembles.

En gros, imagine ton cercle de rayon R, bah tu peux l'étirer d'un facteur 2, 3, 50, 10^42, tu auras un cercle sans aucun "trou". This is la puissance du continu.

[U46406]

la puissance du continu.

Y a-t-il un lien avec la notion de topologie ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervall ... du_continu