Exercices de MPSI
Re: Exercices de MPSI
Bonjour,
voici un exercice que je trouve difficile sans indication, même s'il reste strictement dans le programme de première année. Pour l'instant, je le donne sec.
Soit $ d $ un entier naturel $ \geq 1 $. On note $ (\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_d) $ la base canonique de $ \mathbb{R}^d $.
Une fonction $ f:\mathbb{Z}^d \to \mathbb{R} $ est dite harmonique sur $ \mathbb{Z}^d $ si pour tout $ z $ dans $ \mathbb{Z}^d $, on a
$
f(z)=\frac{1}{2d}\sum_{i=1}^d f(z+\varepsilon_i)+f(z-\varepsilon_i)
$
(ie la valeur de $ f $ en tout point est égale à la moyenne de ses valeurs au $ 2d $ plus proches voisins euclidiens.)
Démontrer qu'une fonction harmonique et bornée sur $ \mathbb{Z}^d $ est constante.
voici un exercice que je trouve difficile sans indication, même s'il reste strictement dans le programme de première année. Pour l'instant, je le donne sec.
Soit $ d $ un entier naturel $ \geq 1 $. On note $ (\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_d) $ la base canonique de $ \mathbb{R}^d $.
Une fonction $ f:\mathbb{Z}^d \to \mathbb{R} $ est dite harmonique sur $ \mathbb{Z}^d $ si pour tout $ z $ dans $ \mathbb{Z}^d $, on a
$
f(z)=\frac{1}{2d}\sum_{i=1}^d f(z+\varepsilon_i)+f(z-\varepsilon_i)
$
(ie la valeur de $ f $ en tout point est égale à la moyenne de ses valeurs au $ 2d $ plus proches voisins euclidiens.)
Démontrer qu'une fonction harmonique et bornée sur $ \mathbb{Z}^d $ est constante.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Re: Exercices de MPSI
Kakille une piste en spoiler ? 
Re: Exercices de MPSI
Il y a déjà eu un topic à propos de cet exo, c'est un oral ens : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 40#p918940
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exercices de MPSI
Voici un exo assez sympa que j'ai eu :
Soit $ A $ un ensemble infini de $ \mathbb{R}^{+ *} $ , il s'agit de trouver tous les polynômes $ P $ qui vérifient :
$ \forall x \in A :~~~~ P(x)=x^{\frac{3}{2}} $
Soit $ A $ un ensemble infini de $ \mathbb{R}^{+ *} $ , il s'agit de trouver tous les polynômes $ P $ qui vérifient :
$ \forall x \in A :~~~~ P(x)=x^{\frac{3}{2}} $
Dernière modification par oty20 le 24 juil. 2018 02:49, modifié 1 fois.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exercices de MPSI
A est un ensemble infini de réels ? 
Re: Exercices de MPSI
il y a un problème ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exercices de MPSI
SPOILER:
Re: Exercices de MPSI
C'est ce qu'il me semble aussi, on obtient facilement que $ P^2 =X^3 $ (infinité de racine toussa...), et ensuite on a un problème 
2016-2018 - PCSI 1 / PC*- Champollion
2018- ? - ENS Ulm
2018- ? - ENS Ulm
Re: Exercices de MPSI
Cela mène a rien ..... je peux donner des indications si besoin.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .