Les dattes à Dattier
Re: Les dattes à Dattier
Pour la 165... J'imagine que cela était implicite mais certes, il est exact que j'aurais du citer ce résultat clairement!
Ce qui m'intringue en revanche est : est-il possible de produire une preuve de ces exercices (du moins le 165) en faisant appel exclusivement au programme de prépa?
Ce qui m'intringue en revanche est : est-il possible de produire une preuve de ces exercices (du moins le 165) en faisant appel exclusivement au programme de prépa?
Re: Les dattes à Dattier
Oui suffit de trouver f' continue à variation non bornée, ce qui semble moins bourrin que le théorème utilisé.BobbyJoe a écrit : ↑13 août 2018 15:01Pour la 165... J'imagine que cela était implicite mais certes, il est exact que j'aurais du citer ce résultat clairement!
Ce qui m'intringue en revanche est : est-il possible de produire une preuve de ces exercices (du moins le 165) en faisant appel exclusivement au programme de prépa?
Re: Les dattes à Dattier
En effet, typiquement une fonction continue nulle part monotone... Mais bon, le point crucial est tout de même qu'une fonction à variations bornées est aussi dérivable en presque tout point donc bon... (c'est le point essentiel à mon avis pour produire la contradiction!)
Re: Les dattes à Dattier
Si on se donne h intégrable la fonction intégrale de 0 à x de h est différence de fonction croissantes (C est l intégrale de 0 à x de h+ moins celle de h-. Ainsi il suffit de prendre f continue à variation non bornée et nulle en 0.
Re: Les dattes à Dattier
Juste pour info : Pour le $168,$ il suffit de prendre une fonction qui n'est pas absolue continue (dont la dérivée faible n'est pas dans $L^{1}$). L'escalier du diable (i.e. la fonction de répartition de la loi uniforme supportée par le Cantor triadique) est un exemple de telle fonction, qui est pourtant à variations bornées!
Re: Les dattes à Dattier
Au passage, vu qu'"absolument continue" implique "à variations bornées", il est sans doute de bon ton de donner un contre-exemple d'une fonction qui n'est pas "absolument continue" mais "à variations bornées"!
Re: Les dattes à Dattier
88 : Palindromitude
Si $P\in\mathbb{C}[X]$ palindrome de degré $n=2×k+ϵ$ et $ϵ∈\{0,1\}$ avec $(n>0)$, alors si $r$ est une racine de $P$ alors $1/r$ aussi et de même multiplicité. Il est clair que $r≠0$.
Supposons que $|r|≠1$, alors $(X-r)(X-1/r)=X^2-\frac{r^2+1}{r} X+1$. Donc si ni $1$ ni $-1$ ne sont racines de $P$, tout va bien puisque $r≠1/r$.
Pour le reste, je ne vois pas mais je suppose que pour $1$ on peut utiliser $P^\prime$ pour démontrer que 1 est racine d’ordre pair.
Si $P\in\mathbb{C}[X]$ palindrome de degré $n=2×k+ϵ$ et $ϵ∈\{0,1\}$ avec $(n>0)$, alors si $r$ est une racine de $P$ alors $1/r$ aussi et de même multiplicité. Il est clair que $r≠0$.
Supposons que $|r|≠1$, alors $(X-r)(X-1/r)=X^2-\frac{r^2+1}{r} X+1$. Donc si ni $1$ ni $-1$ ne sont racines de $P$, tout va bien puisque $r≠1/r$.
Pour le reste, je ne vois pas mais je suppose que pour $1$ on peut utiliser $P^\prime$ pour démontrer que 1 est racine d’ordre pair.
Dernière modification par Nicolas Patrois le 14 août 2018 18:38, modifié 2 fois.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
-+- Gustave Flaubert, Dictionnaire des idées reçues -+-
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Re: Les dattes à Dattier
Je finis.
Si la multiplicité de $1$ était impaire (disons $m$), alors $X^m+…+(-1)$ diviserait $P$ ce qui voudrait dire que le coefficient dominant de P serait de signe opposé à… contradiction.
Quant à $-1$, comme les autres racines sont groupées par $2$ (et que si le degré de $P$ est impair alors $-1$ en est racine), c’est fini.
Si la multiplicité de $1$ était impaire (disons $m$), alors $X^m+…+(-1)$ diviserait $P$ ce qui voudrait dire que le coefficient dominant de P serait de signe opposé à… contradiction.
Quant à $-1$, comme les autres racines sont groupées par $2$ (et que si le degré de $P$ est impair alors $-1$ en est racine), c’est fini.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
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Re: Les dattes à Dattier
Je viens de le voir, du coup j'ai un doute..
On peut pas juste utiliser un truc du genre
"Renvoit les d derniers decimales de p^^n (n>d), ou p^^n est la tour p^p^...p^p (n p's).
tower_digits:=proc(d,p)
local x, oldx, height;
begin
x := p;
height := 1;
while TRUE do
oldx := x;
x := powermod(p,x,10^d);
if x = oldx mod 10^d then break end_if;
height := height + 1
end_while;
return([x,height])
end_proc
Comme toutes les tours de hauteur plus grande que d ont la meme sequence des derniers digits.
Et on a "juste" a utiliser la methode des "Last Eight Digits of Z"
Par exemple, en Maple, on triche avec :library/drmath/view/51625 a écrit : using a computer and to force the computer to do this modular exponentiation. We're looking for the
last 8 digits so we will reduce 13^13 mod 10^8 and then take the
answer we get (call it x), and compute: 13^x mod 10^8
Of course, 13^x will be too large to compute (even though x will be
significantly smaller than 13^13 - recall that x is only the last 8
digits of 13^13) unless we force the computer to do the exponentiation
modularly.
> 13^13;
302875106592253
> 13 &^ % mod 10^8;
88549053
> 13 &^ % mod 10^8;
44325053
> 13 &^ % mod 10^8;
84645053
> 13 &^ % mod 10^8;
27045053
> 13 &^ % mod 10^8;
95045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
C'est a dire, pour des tours de 3, que les 167 derniers chiffres de Graham sont
73228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262464195387
Non ?
Cela dit, je vois toujours pas trop le but, sur un forum pour prepas..
Re: Les dattes à Dattier
Je dirais non avec une fonction continue nulle part comme celle qui remplit $[0;1[^2$ mais mon petit doigt me dit que ce n’est pas suffisant.
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