Exos sympas MP(*)

[matmeca_mcf1]

Vous voulez un indice pour montrer qu'une fonction qui vérifie cette propriété est linéaire sur un voisinage de zéro?

SPOILER:

L'idée est de passer par la contraposée. Soit f non linéaire dans un voisinage de zéro, alors pour tout $ k $ appartenant à $ \mathbb{N} $, il existe $ a_k $et $ b_k $ dans $ \mathbb{R}^d $ tels que

• $ \lVert a_k\rVert\leq 2^{-k} $, $ \lVert b_k\rVert\leq 2^{-k} $, $ \lVert a_k+b_k\rVert\leq 2^{-k} $.
• $ \eta_k\colon=\lVert f(a_k+b_k)-f(a_k)-f(b_k)\rVert>0 $.

L'idée est alors de choisir de prendre pour suite $ u $
$$
u_{3n}=a_k \quad\text{ si $M_k\leq n<M_{k+1}$}\\
u_{3n+1}=b_k\quad\text{ si $M_k\leq n<M_{k+1}$}\\
u_{3n+2}=-(a_k+b_k)\quad\text{ si $M_k\leq n<M_{k+1}$}\\
$$
où $M$ est une suite à valeurs dans $ \mathbb{N} $, strictement croissante à choisir (laissée en exo pour le lecteur).

[oty20]

je me demandais surtout si @Bobbyjoe avait réfléchi au problème.
Magnifique @matmeca_mcf1 vous l'avez résolu en si peu de temps c'est stupéfiant, voici une proposition de solution:

SPOILER:

l'idée est de montrer que : $ \frac{f(x)}{x}=\frac{f(-y)}{-y} $ pour $ x,y $ positifs suffisamment petits.

pour cela on va construire une suite $ (s^{xy}) $ de sorte à faire apparaître la quantité $ f(x)y+f(-y)x $ et montrer quelle devrait s'annulait pour de faibles valeurs de $ x~~,et~~y $.

Nous allons construire $ (s^{xy}) $ de manière récursive comme suit :

pour $ k\geq 1 $ ,$ s_{k}=-y $ si $ \sum_{j=1}^{k-1} s_{j} \geq y $ , $ s_{k}=x $ sinon.

Explication : on part de $ s_{1}=x $ , on pose $ m=E(\frac{x}{y}) $ alors $ my \leq x < (m+1)y $ pour chaque apparition de $ x $ il y a $ m $ apparition de $ y $ avant la prochaine apparition de $ x $.
Donc $ s_{1}+...+s_{N}=q(-y)+p(x) $ avec $ p+q=N $ et $ q=pm $ donc $ p=\frac{N}{1+m} $ donc le nombre d'apparition de $ x $ est de l'ordre de $ \frac{y}{x+y} N $, celui de $ -y $ est $ \frac{x}{x+y}N $.

La somme partiel de la suite ainsi défini reste entre $ 0 $ et $ x+y $ , tandis que $ \sum_{k} f(s_{k}^{xy}) $ fait apparaître la quantité souhaité.


Si $ f(x)y+f(-y)x >0 $ alors $ \sum_{k} f(s_{k}^{xy})=+\infty $ en particulier on dipose de $ N(x,y) $ de sorte que : $ \sum_{k=1}^{N(x,y)} f(s_{k}^{xy}) > 1 $.

Supposons que $ f(x)y+f(-y)x >0 $ pour une infinité de couples $ (x,y) $ proches de 0.
pour tout $ t \in \mathbb{N}^{*} $ choisissons $ (x_{t},y_{t}) $ tels que $ 0< x_{t},y_{t} < 2^{-t} $ , on définit $ (u_{n}) $ comme étant les concaténation des $ N(x_{t},y_{t}) $ premiers termes de $ (s^{x_{t}y_{t}}) $
$ t\in \{1,2,.... $ , d’après le précédent paragraphe $ \sum u_{n} $ converge tandis que $ \sum f(u_{n}) $ diverge.

le cas $ f(x)y+f(-y)x < 0 $ se traite de façon symétrique , Il en découle que : $ f(x)y+f(-y)x=0 $ au voisinage de zéro ce qui permet de conclure .

[matmeca_mcf1]

Je ne l'ai pas résolu si vite que cela. On l'avait posé à quelqu'un à un oral d'Ulm en 1999. Il en a parlé à un autre candidat et quand je suis sorti de mon oral de la salle d'à côté, ce dernier m'a raconté l'exo. Je ne me rappelle plus combien de temps il m'avait fallu pour trouver la solution. Probablement une journée. Je ne l'aurais pas résolu le temps d'un oral.

[oty20]

Il est retombé en 2017

[certus]

A dattier est ce que z=r.exp(it) puis on écrit DSE de f et permute intégrale et sygma
marche ?

[GaBuZoMeu]

Oui.

SPOILER:

Choisir un entier naturel $ M $ tel que $ A=\{x\in[0,1] \mid |f(x)|\leq M\} $ est infini (il en existe puisque $ [0,1] $ est non dénombrable). Choisir n'importe quelle suite injective $ (y_n)_{n\in \mathbb N} $ d'éléments de $ A $. D'après Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de la suite $ (y_n) $ une sous-suite convergente $ (x_n) $ telle que la suite $ f(x_n) $ converge.

[matmeca_mcf1]

$ \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?} $

c. Non. Il suffit de prendre $ (a_i)_i $ non bornée.

Je propose de rajouter bornée à la question c) étant donnée que l'application qui à $ (x_k)_k $ associe $ (a_i)_i $ envoie $ \ell^1(\mathbb{R}) $ dans $ \ell^\infty(\mathbb{R}) $.

[oty20]

Un autre :

$ \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?} $
d/ Existe-t-il une suite de réel $(a_i)_i$ bornée pour laquelle ce système n'a pas de solution ?

édit : pour ajouter la question proposé par matmeca

Très intéressant exo, j’espère ne pas me tromper voici ce qui me vient au premier abord pour la b) fixons $ i \in \mathbb{N}^{*} $ considérons les termes $ (x_{ip})_{p\geq 1} $ on pose $ y_{p}=x_{ip} $ la série $ \sum y_{p} $ est clairement absolument convergente, on sait qu'on enlevant un nombre fini de termes cela ne change pas la nature de la série, quitte à reindexer les termes sans perdre de généralité j’enlève $ y_{1} $ , comme le terme général de la série tend vers zero d’après ce lemme http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 87#p900587 que nous avons démontrer professeur @jeanN et moi,on peut trouver $ (e_{p}) \in \{-1,1\}^{\mathbb{N}} $ tel que $ S_{n}=\sum_{p=2}^{n} e_{p}y_{p} \to 0 $,

La série associé à $ (e_{p}y_{p})_{p\geq 2} $ reste clairement absolument convergente on pose $ y_{1}=a_{i} $, on a bien:
$ y_{1}+\lim_{n\to +\infty} S_{n}=a_{i} $

cette construction montre bien la non unicité de la solution, sauf erreur.

[Nabuco]

Un autre :

$ \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?} $
d/ Existe-t-il une suite de réel $(a_i)_i$ bornée pour laquelle ce système n'a pas de solution ?

édit : pour ajouter la question proposé par matmeca

Très intéressant exo, j’espère ne pas me tromper voici ce qui me vient au premier abord pour la b) fixons $ i \in \mathbb{N}^{*} $ considérons les termes $ (x_{ip})_{p\geq 1} $ on pose $ y_{p}=x_{ip} $ la série $ \sum y_{p} $ est clairement absolument convergente, on sait qu'on enlevant un nombre fini de termes cela ne change pas la nature de la série, quitte à reindexer les termes sans perdre de généralité j’enlève $ y_{1} $ , comme le terme général de la série tend vers zero d’après ce lemme http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 87#p900587 que nous avons démontrer professeur @jeanN et moi,on peut trouver $ (e_{p}) \in \{-1,1\}^{\mathbb{N}} $ tel que $ S_{n}=\sum_{p=2}^{n} e_{p}y_{p} \to 0 $,

La série associé à $ (e_{p}y_{p})_{p\geq 2} $ reste clairement absolument convergente on pose $ y_{1}=a_{i} $, on a bien:
$ y_{1}+\lim_{n\to +\infty} S_{n}=a_{i} $

cette construction montre bien la non unicité de la solution, sauf erreur.

J ai du mal à comprendre on veut que la dernière égalité soit vraie pour tout i...

[oty20]

J ai du mal à comprendre on veut que la dernière égalité soit vraie pour tout i...

Bonjour, on partant d'une famille $ (x_{k}) $ pour chaque $ i $ je modifie les indices $ (x_{ip})_{p \geq 1} $
comme dans mon précédent poste,

la suite formé par la concaténation des termes modifiés vérifie pour tout i les égalités demandé.