Polynômes de Legendre

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Polynômes de Legendre

Message par Hypophysaire » 08 sept. 2018 23:52

Bonsoir

J'aimerai prouver que si on a Pn (Pn correspond qu polynome de Legendre de degré n en normalisant P0(x)=1 avec la formule de Rodrigues) alors pour tout polynome Q de degré au plus n-1, intégrale de -1 à 1 de Pn(t)Q(t)dt=0.

Je l'ai réussi en montrant que les (Pk) 0<k<n+1 forment une base orthogonale de Rn[X] et donc Q=Vect(Pk)

Cependant, on m'a dit qu'il existait une autre manière sans utiliser d'algèbre mais je ne sais pas comment faire. Merci :)

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Re: Polynômes de Legendre

Message par matmeca_mcf1 » 08 sept. 2018 23:59

Comment avez-vous défini les polynômes de Legendre? Sans cette définition, nous ne pouvons pas vous aider. La définition la plus courante est justement le polynôme appartenant à l'orthogonal de $ P_{n-1}[X] $ dans $ P_n[X] $ et vérifiant une certaine propriété de normalisation (comme $ P_n(1)=1 $). Mais cela rend la question triviale.

Donc, je suppose que la définition qu'on vous a donnée est soit la formule de Rodrigues, soit la relation de récurrence de Bonnet.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Polynômes de Legendre

Message par Hypophysaire » 09 sept. 2018 00:00

matmeca_mcf1 a écrit :
08 sept. 2018 23:59
Comment avez-vous défini les polynômes de Legendre? Sans cette définition, nous ne pouvons pas vous aider. La définition la plus courante est justement le polynôme appartenant à l'orthogonal de $ P_{n-1}[X] $ dans $ P_n[X] $ et vérifiant une certaine propriété de normalisation (comme $ P_n(1)=1 $). Mais cela rend la question triviale.

Donc, je suppose que la définition qu'on vous a donnée est soit la formule de Rodrigues, soit la relation de récurrence de Bonnet.
Effectivement, j'ai edité c'est bien la formule de Rodrigues.

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Re: Polynômes de Legendre

Message par matmeca_mcf1 » 09 sept. 2018 00:02

Il faut intégrer par partie.
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Re: Polynômes de Legendre

Message par Hypophysaire » 09 sept. 2018 00:07

matmeca_mcf1 a écrit :
09 sept. 2018 00:02
Il faut intégrer par partie.
Ah c'était tout simple alors :oops:
Merci

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