Coquille dans un DM (?)
Coquille dans un DM (?)
Bonjour à tous
Je suis rentré en MPSI cette semaine et j’ai reçu mon premier dm en maths. Seulement une question de logique me paraît fausse
Soit a et b deux réels tel que ∀ε > 0, a < b+ε
Démontrer que a ≤ b
Or si on prend comme exemple a=10, b=5 et ε=7 alors on a bien a < b+ε mais dans ce cas là a ≤ b est faux.
Pouvez vous simplement m’indiquer si il y a erreur ou non dans le sujet ?
Je ne souhaite par ailleurs aucune aide si le sujet s’avère être correct, je veux juste être sur que je ne perds pas mon temps
Merci
Je suis rentré en MPSI cette semaine et j’ai reçu mon premier dm en maths. Seulement une question de logique me paraît fausse
Soit a et b deux réels tel que ∀ε > 0, a < b+ε
Démontrer que a ≤ b
Or si on prend comme exemple a=10, b=5 et ε=7 alors on a bien a < b+ε mais dans ce cas là a ≤ b est faux.
Pouvez vous simplement m’indiquer si il y a erreur ou non dans le sujet ?
Je ne souhaite par ailleurs aucune aide si le sujet s’avère être correct, je veux juste être sur que je ne perds pas mon temps
Merci
Re: Coquille dans un DM (?)
Essaie par l’absurde.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
-+- Gustave Flaubert, Dictionnaire des idées reçues -+-
-+- Gustave Flaubert, Dictionnaire des idées reçues -+-
Re: Coquille dans un DM (?)
Pas de coquille.
MPSI-MP*, Hoche -> ENS Rennes, Maths -> Doctorat, chargé de TD à l'ENS Rennes. -> Prof.
Re: Coquille dans un DM (?)
Merci à tous pour vos réponses
j’ai laissé la question en suspens pour me concentrer sur mon TD de physique. La physique étant fini je vais reprendre mes recherches.
j’ai laissé la question en suspens pour me concentrer sur mon TD de physique. La physique étant fini je vais reprendre mes recherches.
Re: Coquille dans un DM (?)
La méthode proposée ci-dessus (passage à la limite) me parait "anachronique" car la propriété à prouver va venir justifier la définition formelle de la notion de limite.
Comme ça a été dit, il n'y a pas de coquille : la propriété demandée est vraie et prouvable. Cela dit c'est une bonne attitude que d'être critique face à un énoncé : ils peuvent contenir des erreurs, et plus tard vous serez confronté à des questions plus ouvertes où on ne vous dit pas si la propriété étudiée est vraie ou fausse. Et la recherche de contre-exemple est également une bonne pratique quand on a un doute sur une propriété. Enfin, vous avez bien vu à quoi doit ressembler un contre-exemple pour une implication (si… alors…).
Mais en l'espèce, il faut bien voir que dans l'hypothèse, une fois a et b fixés, la relation a < b + ε n'est pas supposée pour un seul ε>0, mais pour tous, aussi petits soient-ils, et c'est cela qu'il faut réussir à exploiter. Dans le "contre-exemple" proposé a=10 b=5, on a certes a < b + ε pour ε=7 mais pas pour tous les ε>0 : l'hypothèse de l'énoncé n'est pas vérifié, et ce n'est donc pas un contre-exemple.
On peut commencer par prouver le résultat pour a = 0 : c'est un peu plus facile à voir et on peut ensuite ramener le cas général à ce cas simplifié.
Comme ça a été dit, il n'y a pas de coquille : la propriété demandée est vraie et prouvable. Cela dit c'est une bonne attitude que d'être critique face à un énoncé : ils peuvent contenir des erreurs, et plus tard vous serez confronté à des questions plus ouvertes où on ne vous dit pas si la propriété étudiée est vraie ou fausse. Et la recherche de contre-exemple est également une bonne pratique quand on a un doute sur une propriété. Enfin, vous avez bien vu à quoi doit ressembler un contre-exemple pour une implication (si… alors…).
Mais en l'espèce, il faut bien voir que dans l'hypothèse, une fois a et b fixés, la relation a < b + ε n'est pas supposée pour un seul ε>0, mais pour tous, aussi petits soient-ils, et c'est cela qu'il faut réussir à exploiter. Dans le "contre-exemple" proposé a=10 b=5, on a certes a < b + ε pour ε=7 mais pas pour tous les ε>0 : l'hypothèse de l'énoncé n'est pas vérifié, et ce n'est donc pas un contre-exemple.
On peut commencer par prouver le résultat pour a = 0 : c'est un peu plus facile à voir et on peut ensuite ramener le cas général à ce cas simplifié.