Topologie ouvert
Topologie ouvert
Bonjour, un ami m’a donné l exo suivant :
Soit A un ouvert borné non vide, de diamètre d tel que A contient une boule ouverte de diamètre d.
Montrer que A est égale à cette boule.
Si a est le centre de cette boule elle est de rayon d/2.
Si on raisonne par l absurde, on peut trouver un x et r> 0 tel que la boule de centre x et de rayon r, disjointe de la boule de centre a et de rayon d/2.
Sur un dessin cela semble visible que si on prend un élément diamètralement opposé à l intersection entre [x,a] et la boule de sorte que ||z-a||=d/2 - t , t suffisament petit , en s’éloignant de x à raison d au moins t , on peut construire deux éléments de A distant de au moins d , ce qui fournirait une contradiction, mais je n’arrive pas à trouver la bonne paramètrisation, je commence à douter que le dessin m induise en erreur, en effet si on prend une ellipse ouverte de grand axe d , incluse dans le disque ouvert de diamètre d fournit un contre exemple si je ne dis pas de bêtises.
Merci pour votre aide.
Soit A un ouvert borné non vide, de diamètre d tel que A contient une boule ouverte de diamètre d.
Montrer que A est égale à cette boule.
Si a est le centre de cette boule elle est de rayon d/2.
Si on raisonne par l absurde, on peut trouver un x et r> 0 tel que la boule de centre x et de rayon r, disjointe de la boule de centre a et de rayon d/2.
Sur un dessin cela semble visible que si on prend un élément diamètralement opposé à l intersection entre [x,a] et la boule de sorte que ||z-a||=d/2 - t , t suffisament petit , en s’éloignant de x à raison d au moins t , on peut construire deux éléments de A distant de au moins d , ce qui fournirait une contradiction, mais je n’arrive pas à trouver la bonne paramètrisation, je commence à douter que le dessin m induise en erreur, en effet si on prend une ellipse ouverte de grand axe d , incluse dans le disque ouvert de diamètre d fournit un contre exemple si je ne dis pas de bêtises.
Merci pour votre aide.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Topologie ouvert
Si on prend x dans A mais pas dans B(a,d/2) alors d(x,a)>d/2, et alors d(x,a+(a-x)/d(a,x)*d/2)>d avec a+(a-x)/d(a,x)*d/2 dans B(a,d/2) donc dans A, non ?
Re: Topologie ouvert
Bonjour Merci pour ton aide.
Je pense qu on a pas d(x,y) >d(x,z)+ d(z,y) ,
Puis la boule est ouverte elle contient pas d éléments de sorte ||z-a||=d/2 .
Au passage désolé de ne pas avoir précisé on travaille sur un evn
Je pense qu on a pas d(x,y) >d(x,z)+ d(z,y) ,
Puis la boule est ouverte elle contient pas d éléments de sorte ||z-a||=d/2 .
Au passage désolé de ne pas avoir précisé on travaille sur un evn
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Re: Topologie ouvert
On peut supposer que la boule est centrée en 0.
S'il existait $ x\in A - B_f(0,d/2) $ alors, pour $ \epsilon>0 $ assez petit, $ -\frac{d}{(2+\epsilon)||x||}x $ serait a une distance > d donc $ A\subset B_f(0,d/2) $ puis puisque A est ouvert il est inclus dans l'intérieur de la boule fermée donc égal a la boule ouverte.
S'il existait $ x\in A - B_f(0,d/2) $ alors, pour $ \epsilon>0 $ assez petit, $ -\frac{d}{(2+\epsilon)||x||}x $ serait a une distance > d donc $ A\subset B_f(0,d/2) $ puis puisque A est ouvert il est inclus dans l'intérieur de la boule fermée donc égal a la boule ouverte.
Nothing happened.
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L3 Maths-Info
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L3 Maths-Info
Re: Topologie ouvert
On a B(a,d/2) dans A, supposons que la réciproque n'est pas vraie ie il existe x dans A tel que ||x-a||>d/2. Soit e=(a-x)/||x-a|| et $ y=a+(d/2- \eps)*e $ avec $ d> \eps >0 $, un point opposé à x par a dans B(a,d/2) et donc dans A.
$ ||x-y||=||(x-a)(1+(d/2- \eps)/||x-a||)||=||x-a||+d/2-\eps $ > d pour $ \eps $ assez petit, ce qui contredit diam(A)=d.
L'exo intéressant c'est de se demander si ça tient pour tout espace métrique...
EDIT : devancé par noro
$ ||x-y||=||(x-a)(1+(d/2- \eps)/||x-a||)||=||x-a||+d/2-\eps $ > d pour $ \eps $ assez petit, ce qui contredit diam(A)=d.
L'exo intéressant c'est de se demander si ça tient pour tout espace métrique...
EDIT : devancé par noro
Re: Topologie ouvert
Bonjour je suis déjà passé par ces chemins, il me semble que cela marche pas.
$ ||x-a||=||x-a|| |1+\frac{1}{||x-a||}(\frac{d}{2}-\varepsilon)| $ encore une fois cela utilise le mauvais sens de l'inégalité triangulaire ,
$ |1+\frac{d-2\varepsilon}{2||x-a||}|\geq 1+\frac{d-2\varepsilon}{2||x-a|} $....
@noro j'ai aussi testé de translaté le problème à zéro , il y a toujours le problème d'inégalité si je me trompe pas.
$ ||x-a||=||x-a|| |1+\frac{1}{||x-a||}(\frac{d}{2}-\varepsilon)| $ encore une fois cela utilise le mauvais sens de l'inégalité triangulaire ,
$ |1+\frac{d-2\varepsilon}{2||x-a||}|\geq 1+\frac{d-2\varepsilon}{2||x-a|} $....
@noro j'ai aussi testé de translaté le problème à zéro , il y a toujours le problème d'inégalité si je me trompe pas.
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Re: Topologie ouvert
Bonjour oty, ici l'inégalité triangulaire n'est pas vraiment pertinente car les vecteurs sont colinéaires : $ \forall \lambda \in \mathbb R_+,\ \|x + \lambda x\| = (1 + \lambda)\cdot \|x\| $
Re: Topologie ouvert
Ah oui, oula la gourde ! Merci infiniment, j’avais fait comme @donnerwetter en premier lieu je sais pas pourquoi j ai pas remarqué qu on pouvait enlever la valeur absolue plutôt , je m etais trop focaliser sur les vecteurs, mes plus plates excuses @noro et @donnerwetter. Merci infiniment pour votre aide
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Re: Topologie ouvert
J'ai l'impression que cette ellipse ne contient pas de boule de diamètre d.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Topologie ouvert
Merci beaucoup , en faite par l'ellipse je ne faisais pas référence juste au contour mais à surface , je pense avoir parvenu à me l'expliquer , cela dépend de la norme j'avais tendance a dire qu'un ouvert en faite, c'est tout ensemble tel que si je choisis un point et que je trouve un voisinage autour de ce point qui reste dans l'ensemble c'est que c'est bon.
Mais dans mon contre exemple : le disque ouvert de centre l'origine et diamètre d par exemple est la boule ouverte de centre $ 0 $ et de rayon $ \frac{d}{2} $pour la norme $ 2 $ , or si $ (E) $ l'intérieur de l'ellipse $ (x,y) \in (E) $ équivaut à une inégalité du type :
$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} < 1 $ ce n'est pas la norme $ 2 $ de $ (x,y) $.
Mais dans mon contre exemple : le disque ouvert de centre l'origine et diamètre d par exemple est la boule ouverte de centre $ 0 $ et de rayon $ \frac{d}{2} $pour la norme $ 2 $ , or si $ (E) $ l'intérieur de l'ellipse $ (x,y) \in (E) $ équivaut à une inégalité du type :
$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} < 1 $ ce n'est pas la norme $ 2 $ de $ (x,y) $.
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