En effet. Il faut alors rajouter la condition $ab<0$, n'est-ce pas?
Les dattes à Dattier
Re: Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier
Oui. La condition impose $a_0 \leq 0.5$ car sinon on ne peut pas atteindre 0.5 en sommant des $a_k$. On prend alors la suite $1, 0, 0, 0...$ et $c_k$ définie par récurrence:Dattier a écrit : ↑25 sept. 2018 18:25217 : série continuement représentée
Soit $ (a_k)_k \in (\mathbb R_+^*)^{\mathbb N} $ tel que $\sum \limits_{k=1}^\infty a_k=1$ et $\forall b \in [0,1], \exists (c_k)_k \in \{0,1\}^{\mathbb N}, b=\sum c_k\times a_k$.
A-t-on $\exists (c_k),(c'_k) \in \{0,1\}^{\mathbb N}$ tel que $(c_k)\neq (c'_k)$ et $\sum c_k \times a_k=\sum c'_k \times a_k$ ?
-$c_0 = 0$
-Si $\sum \limits_{k=0}^n c_k \times a_k + a_{n+1} \leq a_0$ alors $c_{n+1}=1$ sinon $c_{n+1}=0$.
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Re: Les dattes à Dattier
Il est clair que $\sum c_ka_k$ ne dépasse pas $a_0$ par construction. Si $\sum c_ka_k < a_0$ alors $]\sum c_ka_k, a_0[$ n'est pas atteignable, ce qui contredit l'hypothèse.
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Re: Les dattes à Dattier
Je ne précise pas trop mes réponses parce que latex est laborieux, mais voici ma réponse plus détaillé.
-On remarque qu'on peut supposer la suite $a_k$ strictement décroissante. En effet, si deux termes sont égaux alors trouver les deux suites $(c_k)$ et $(c_k')$ devient très facile: on les prend égales à un seulement pour chacun des termes respectivement. Pour qu'elle soit décroissante on peut prendre par récurrence le max des termes restants.
-Ensuite, on remarque que les facteurs $\frac{a_k}{a_{k+1}}$ ne peuvent pas être tous plus grands que $2$; sinon, l'hypothèse n'est pas vérifiée (il faut que je détaille?). Par exemple, dans le cas limite où $\forall k \in \mathbb{N}, \frac{a_k}{a_{k+1}}=2$ on peut prendre $(1, 0, 0...)$ et $(0, 1, 1...)$.
-On considère alors le premier entier $n$ tel que $\frac{a_n}{a_{n+1}}<2$. Par hypothèse, il existe une suite $(c_k^*)$ telle que $\sum\limits_{n+1}^{\infty} c_k^*a_k = a_n-a_{n-1}$.
-On prend finalement la suite qui vaut $0$ partout sauf à la $n-1$-ième place et $(c_k^*)$ avec un $1$ à la $n$-ième place.
-On remarque qu'on peut supposer la suite $a_k$ strictement décroissante. En effet, si deux termes sont égaux alors trouver les deux suites $(c_k)$ et $(c_k')$ devient très facile: on les prend égales à un seulement pour chacun des termes respectivement. Pour qu'elle soit décroissante on peut prendre par récurrence le max des termes restants.
-Ensuite, on remarque que les facteurs $\frac{a_k}{a_{k+1}}$ ne peuvent pas être tous plus grands que $2$; sinon, l'hypothèse n'est pas vérifiée (il faut que je détaille?). Par exemple, dans le cas limite où $\forall k \in \mathbb{N}, \frac{a_k}{a_{k+1}}=2$ on peut prendre $(1, 0, 0...)$ et $(0, 1, 1...)$.
-On considère alors le premier entier $n$ tel que $\frac{a_n}{a_{n+1}}<2$. Par hypothèse, il existe une suite $(c_k^*)$ telle que $\sum\limits_{n+1}^{\infty} c_k^*a_k = a_n-a_{n-1}$.
-On prend finalement la suite qui vaut $0$ partout sauf à la $n-1$-ième place et $(c_k^*)$ avec un $1$ à la $n$-ième place.
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Re: Les dattes à Dattier
Il y a en effet une erreur dans les indices. Voici la preuve corrigée:
-On remarque qu'on peut supposer la suite $a_k$ strictement décroissante. En effet, si deux termes sont égaux alors trouver les deux suites $(c_k)$ et $(c_k')$ devient très facile: on les prend égales à un seulement pour chacun des termes respectivement. Pour qu'elle soit décroissante on peut prendre par récurrence le max des termes restants.
-Ensuite, on remarque que les facteurs $\frac{a_k}{a_{k+1}}$ ne peuvent pas être tous plus grands que $2$; sinon, l'hypothèse n'est pas vérifiée (il faut que je détaille?). Par exemple, dans le cas limite où $\forall k \in \mathbb{N}, \frac{a_k}{a_{k+1}}=2$ on peut prendre $(1, 0, 0...)$ et $(0, 1, 1...)$.
-On considère alors le premier entier $n$ tel que $\frac{a_n}{a_{n+1}}<2$. Par hypothèse, il existe une suite $(c_k^*)$ telle que $\sum\limits_{n+2}^{\infty} c_k^*a_k = a_n-a_{n+1}$.
-On prend finalement la suite qui vaut $0$ partout sauf à la $n$-ième place, notée $(c_k)$; et la suite $(c_k^*)$ avec un $1$ à la $n+1$-ième place, notée $(c_k')$. En effet:
$$\sum c_ka_k=a_n$$
$$\sum c_k'a_k=a_{n+1}+\sum\limits_{n+2}^{\infty} c_k^*a_k = a_{n+1}+a_n-a_{n+1}=a_n$$
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Re: Les dattes à Dattier
Pour la $ $$220.$
SPOILER:
Dernière modification par BobbyJoe le 02 oct. 2018 08:06, modifié 3 fois.
Re: Les dattes à Dattier
1) Connais-tu la définition d'isométrie? ...
On a effectivement pour tout $(\varepsilon,\varepsilon)'\in K^{2},$ $\vert \phi(\varepsilon)-\phi(\varepsilon') \vert = d(\varepsilon,\varepsilon').$
2) J'ai spécifié les espaces métriques, munis des bonnes distances : respectivement $(K,d)$ au départ et $(C,\vert .\vert )$ à l'arrivée...
Et donc, $C$ est compact comme image par une application continue d'un compact.
On a effectivement pour tout $(\varepsilon,\varepsilon)'\in K^{2},$ $\vert \phi(\varepsilon)-\phi(\varepsilon') \vert = d(\varepsilon,\varepsilon').$
2) J'ai spécifié les espaces métriques, munis des bonnes distances : respectivement $(K,d)$ au départ et $(C,\vert .\vert )$ à l'arrivée...
Et donc, $C$ est compact comme image par une application continue d'un compact.
Dernière modification par BobbyJoe le 02 oct. 2018 07:59, modifié 1 fois.
Re: Les dattes à Dattier
Non, mais d'accord, on a seulement : pour tout $(\varepsilon,\varepsilon)'\in K^{2},$ $\vert \phi(\varepsilon)-\phi(\varepsilon') \vert \leq d(\varepsilon,\varepsilon'),$ ce qui est suffisant pour conclure!