Exos sympas MP(*)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par artslidd » 08 nov. 2018 21:14

Oui j'étais dans sa classe il y a deux ans maintenant
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 17 nov. 2018 04:17

Autour de l'espérance :

Soit $ X,Y $ deux variables aléatoires réelles indépendantes de même loi , et pour simplifier à valeurs dans un ensemble fini.

Montrer que : $ E(|X-Y|) \leq E(|X+Y|) $
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par BobbyJoe » 17 nov. 2018 10:28

Voilà une preuve générale fondée sur unes astuce due au mathématicien polonais : Jacek Wesolowski.

Soit $X$ et $Y$ deux vecteurs aléatoires de $\mathbb{R}^{n}$ intégrables, de même loi et indépendants.

On note $<,>$ un produit scalaire sur $\mathbb{R}^{n}$ et $\|.\|$ la norme associée.

On veut montrer l'inégalité : $$\mathbb{E}[\|X-Y\|]\leq \mathbb{E}[\|X+Y\|].$$

**Lemme
Tout d'abord, il existe une constante $C_{n}>0$ telle que pour tout $u$ appartenant à $\mathbb{R}^{n}$ $$\|u\|=C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\frac{1-\cos(t<x,u>)}{t^{2}}dt.$$

L'intégrande étant positif, on peut calculer formellement.
L'identité à prouver repose sur le fait qu'il existe une constante $C>0$ telle que pour $x$ appartenant à $\mathbb{R}$ $$\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin^{2}(tx)}{t^{2}}=C\vert x \vert.$$
Si $u=0$, l'identité est directe. Si $u\neq 0$, on écrit que $\mathbb{R}^{n}$ est somme directe de la droite engendrée par $\frac{u}{\|u\|}$ et de l'orthogonal de cette droite vectorielle pour obtenir après un changement de variable l'identité désirée.

**Preuve de l'inégalité

Par Fubini positif, il vient $$\mathbb{E}[\|X+Y\|-\|X-Y\|]=C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}\left[\frac{1-\cos\left(t<x,X+Y>)\right)}{t^{2}}-\frac{1-\cos\left(t<x,X-Y>)\right)}{t^{2}}\right]dt.$$
On a alors avec un peu de trigonométrie que $$\mathbb{E}[\|X+Y\|-\|X-Y\|]=2C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}\left[\frac{\sin(t<x,X>)}{t}\frac{\sin(t<x,Y>)}{t}\right]dt.$$
D'où l'on tire par indépendance de $X$ et $Y$ (et du fait que $X$ et $Y$ aient même loi) $$\mathbb{E}[\|X+Y\|-\|X-Y\|]=2C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}\left[\frac{\sin(t<x,X>)}{t}\right]^{2}dt\geq 0.$$

Remarque :
On peut également utiliser l'astuce suivante (si $\|.\|$ désigne la norme euclidienne standard sur $\mathbb{R}^{n}$)
$ $$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right)^{n}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp(-\frac{\|x\|^{2}}{2})\vert <x,u> \vert dx=\|u \|.$
Bref...
Modifié en dernier par BobbyJoe le 17 nov. 2018 23:14, modifié 3 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par dSP » 17 nov. 2018 16:09

Si c'est la démonstration attendue, alors cet exercice est de mauvais goût...
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par BobbyJoe » 17 nov. 2018 16:34

En dimension $ $$1$, il y a une preuve ad-hoc (fondée sur l'inégalité triangulaire) par récurrence sur le nombre de points du support de la loi $ $$X,$ en supposant que $ $$X$ est uniforme (ce qui implique le cas général par la loi des grands nombres)... mais c 'est fastidieux!

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 17 nov. 2018 20:03

dSP a écrit :
17 nov. 2018 16:09
Si c'est la démonstration attendue, alors cet exercice est de mauvais goût...
Non non pour l'exercice tel qu'il est posé c'est accessible niveau prepas, D'ailleurs il existe une preuve dans le nouveau livre de Roger Mansuy...

j'en connais deux autres en dimension 1, une aussi accessible une autre un peu moins car repose sur une transformée de Fourier

@Bobbyjoe auriez-vous une jolie interprétation de ce résultat ? Merci
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par BobbyJoe » 17 nov. 2018 21:08

Si la norme $ $$\|.\|$ sous-jacente est euclidienne, on peut s'intéresser au pendant de cette inégalité pour les norme $ $$p$ : le cas de la norme $2$ (i.e. $ $$\displaystyle \mathbb{E}\left[ \|X-Y\|^{2} \right] \leq \mathbb{E}\left[ \|X+Y \|^{2}\right]$ est amusant, le cas $ $$p=\infty$ aussi (les autres cas s'obtiennent par interpolation).
Je dirais qu'une interprétation possible mais "naze" du résultat est :
si l'on tire deux sommets $ $$M,M'$ aléatoirement suivant la loi de $ $$X$, le triangle $ $$OMM'$ est en moyenne aigu en $ $$O.$

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 17 nov. 2018 22:28

La preuve dans le livre cité plus haut est exactement celle que vous avez proposé , en dimension 1.

On peut se passer de l'identité qui semble parachuté, en faisant la constatation que :
$ |X+Y|-|X-Y|=2\min(X,Y) sign(XY) $ et donc la différence entre les deux membres de l’inégalité peut être écrite comme :

$ 2E(\min(X,Y) sign(XY)=2 \int_{0}^{\infty} [P(|X|\geq t, |Y|\geq t, XY\geq 0)-P(|X|< t, |Y|< t, XY< 0)]dt $

Comme $ P(Z \geq t)=P(Z >t) $ presque partout, Compte tenue des hypothèses il vient que :
$ 2E(\min(X,Y) sign(XY)=2\int_{0}^{\infty} [P(X \geq t)]^{2}+ [P(X \leq -t)]^{2}-2P(X \geq t)P(X \leq -t) dt
\\~~~~~~~=2\int_{0}^{\infty} [P(X\geq t)-P(X \leq -t)]^{2} dt \geq 0 $
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par dSP » 18 nov. 2018 09:06

Dattier a écrit :
17 nov. 2018 16:19
Bonjour,

@dSP : pourquoi cela, les outils qu'utilisent Bobby sont aux programmes de MP* non ?

Bonne journée.
Cela ne vous pose aucun problème que la démonstration proposée soit fondée sur une identité parachutée totalement introuvable ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » 18 nov. 2018 09:53

Tiens @oty20, ça me rappelle quelque chose : https://math.stackexchange.com/question ... 701#414701
Une source est-elle indiquée pour cette démonstration ?

Une autre discussion qui montre que ceci découle en fait d'un résultat de dispersion plus général : http://www.les-mathematiques.net/phorum ... msg-872787

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