Bonjour,
poca(u)=0 : "le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur".
Il semblerait qu'on peut le démontrer en remplaçant simplement :
det(u-x*id) ; x=u => poca=0 mais il semblerait qu'on doit connaître une théorie pour pouvoir faire cela. Quelle est donc cette théorie ?
le "problème" est flagrant lorsqu'on travaille sur les matrices , puisque Det(A-XId) n'est pas un polynôme, du moins d'après mes connaissances de MP.
Merci
TH de Cayley Hamilton
Re: TH de Cayley Hamilton
Bonsoir
$ \det(X\,I_n-A) $ est bien sûr un polynôme en $ X $ (un élément de $ K[X] $, où $ K $ est le corps de base), là n'est pas le problème. Le problème, c'est que le morphisme d'évaluation $ K[X]\to K[A] $ ("faire $ X=A $") envoie $ \det(X\,I_n-A) $ sur le déterminant de la matrice de coefficients $ \delta_{i,j}A-m_{i,j}I_n $ dans $ K[A] $ (où $ \delta_{i,j} $ est le symbole de Kronecker), et pas sur le déterminant de la matrice nulle !
$ \det(X\,I_n-A) $ est bien sûr un polynôme en $ X $ (un élément de $ K[X] $, où $ K $ est le corps de base), là n'est pas le problème. Le problème, c'est que le morphisme d'évaluation $ K[X]\to K[A] $ ("faire $ X=A $") envoie $ \det(X\,I_n-A) $ sur le déterminant de la matrice de coefficients $ \delta_{i,j}A-m_{i,j}I_n $ dans $ K[A] $ (où $ \delta_{i,j} $ est le symbole de Kronecker), et pas sur le déterminant de la matrice nulle !