Exos sympas MP(*)

[zede]

Merci, mais le fil que j'avais ouvert à cet effet a été fermé, et celui-ci n'est pas adapté (ces énigmes ne sont pas de niveau MP*), sauf si la modération ne voit aucun problème à ce que je continue à les proposer sur ce fil (Exos sympas MP(*)).

Ce serait tellement mieux de ré-ouvrir le bon sujet.

C'est bien d'avoir fait ce petit point sur le niveau des énigmes, non-averti, en MP, * ou pas, on pourrait prendre peur.

[zede]

Merci JeanN !

[Mathoss]

Un exercice difficile :
Soit E un C-ev de dimension finie, u dans L(E),
Montrer qu'il existe un endomorphisme cyclique commutant avec u!

[Syl20]

Un exercice difficile :
Soit E un C-ev de dimension finie, u dans L(E),
Montrer qu'il existe un endomorphisme cyclique commutant avec u!

Intéressant ! Une proposition assez longue mais dans l'esprit des exos de MP* ( on regarde pour les endomorphismes simples et on généralise) :

SPOILER:

On utilise l'endomorphisme $ d $ défini sur une base $ B=(e_1,...,e_n) $par $ d(e_i)=i e_i $ Cet endomorphisme diagonal est aussi cyclique, puisque pour $ x=\sum e_i $, on a $ det(x,d(x),...,d^{n-1}(x))\neq 0 $ (c'est un déterminant de Vandermonde).
Ensuite, on traite le cas u diagonalisable. Si on note notre base de diagonalisation $ B=(e_1,...,e_n) $ et qu'on prend l'endomorphisme d associé, on a bien du=ud (vrai pour la base donc vrai pour tout vecteur). On dit que d est l'endomorphisme cyclique associé à u
Il faut maintenant généraliser à des endomorphismes non diagonalisables. On peut montrer que tout endomorphisme de Mn(C) est limite d'une suite d'endomorphimes diagonalisables (exercice très classique). On prend donc $ (u_k)_k $ une suite d'endomorphimes diagonalisables tels que $ u_k \to u $, et $ d_k $ l'endomorphisme cyclique associé à $ u_k $. Si on note $ A=\{v, Sp(v)=\{1,2,...,n\}\} $, on peut montrer que A est un compact. Or, pour tout k, $ d_k \in A $, donc on peut trouver une extractrice $ \phi $ et un endomorphisme appartenant à A, donc cyclique, c tel que $ d_{\phi(k)} \to c $. Donc $ d_{\phi(k)}u_{\phi(k)}=u_{\phi(k)}d_{\phi(k)} $, et on conclut par passage à la limite uc=cu avec c cyclique.

[Mathoss]

Je ne suis pas convaincu par ton argument de compacité !
A n'est pas compact puisque c'est la classe de similitude de Diag(1,...,n) qui n'est pas bornée ! (La classe de similitude d'une matrice est bornée ssi elle est scalaire!)

C'est dommage puisque c'était super

[Nabuco]

Aussi si A était compact toute matrice commuterait avec une matrice diagonalisable à valeurs propres simples donc serait diagonalisable.

[JeanN]

Un exercice difficile :
Soit E un C-ev de dimension finie, u dans L(E),
Montrer qu'il existe un endomorphisme cyclique commutant avec u !

SPOILER:

Avec un collègue on propose une solution avec la décomposition de Froebenius (un peu hors programme en mp* tout de même) en perturbant les blocs par des homothéties pour que les polynômes minimaux des blocs deviennent premiers entre eux.

[Mathoss]

Ce serait intéressant de voir si on peut le résoudre avec Jordan uniquement plutôt qui est quand même moins hors programme.
Toutefois, j'aimerais bien voir cette solution JeanN, je ne visualise pas très bien comment on rendra les polynômes minimaux premiers entre eux.

[JeanN]

SPOILER:

Si A est une matrice de polynôme minimal P(X), A+lambda I a pour polynôme minimal P(X-lambda)
Il reste à choisir des lambdas pour rendre les ensembles de racines de chaque nouveau polynôme minimal de chaque bloc deux à deux disjoints.
D'ailleurs,cette preuve semble fonctionner en remplaçant C par un corps infini par exemple.

[JeanN]

SPOILER:

Si A est une matrice de polynôme minimal P(X), A+lambda I a pour polynôme minimal P(X-lambda)
Il reste à choisir des lambdas pour rendre les ensembles de racines de chaque nouveau polynôme minimal de chaque bloc deux à deux disjoints.
D'ailleurs,cette preuve semble fonctionner en remplaçant C par un corps infini par exemple.

Et perso, je trouve Froebenius tout aussi difficile à montrer que Jordan (j'utilise le même type d'argument dans les deux cas pour montrer l'existence d'un supplémentaire stable au sev qui va bien).