Exos sympas MP(*)

[artslidd]

Equivalent en $ 1^- $ de $ \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{x^n}{ln(n)} $

[oty20]

Un exercice récent d'oral:
Quelles sont les parties K de R telles que toute fonction f:K->R continue soit uniformément continue?

Bizarrement je me suis posé cette question en sup, quand on avait vu pour le première fois le théorème de Heine , en cherchant j’étais tombé sur cet article que j'ai encore en archive : https://msp.org/pjm/1958/8-1/pjm-v8-n1-p02-s.pdf , l'article donne une réponse dans un contexte plus général adaptable dans le cas de R.

Mais peut-être qu'il y a plus simple comme approche dans le cadre de R ?

[Chronoxx]

Y a plein de choses qui viennent le contredire puisque Z convient, un segment [a,b] aussi

Ahh oui c'est vrai, j'avais zappé les compacts... mais il doit y'en avoir d'autres ^^

[V@J]

En effet. De manière générale, à vue de nez, la CNS recherchée doit être quelque chose comme :
il existe un réel A>0 tel que K soit une réunion de compacts distants les uns les autres d'au moins A.

[Nabuco]

En effet. De manière générale, à vue de nez, la CNS recherchée doit être quelque chose comme :
il existe un réel A>0 tel que K soit une réunion de compacts distants les uns les autres d'au moins A.

Non ça ça ne marche pas, prend une union dis jointe infinie d intervalles distant de 1 fonctions affines de plus en plus pentues sur chaque intervalle.
La réponse doit être un compact union un ensemble tq existe e>0, tous les points sont distants d au moins e.

[oty20]

Dans l'article que j'ai posté il y a plusieurs CNS en voici une que je cite :

DEFINITION 2. Let $ x $ be isolated in a metric space, then we write
$ I(x) $ for a supremum of positive numbers a such that $ S(x, a) $ consists
of $ x $ alone.



(6) For any function $ f(x) $, there is a positive integer $ n $ such that
every point of $ A=\{x ;|f(x)|\geq n\} $ is isolated and $ \inf_{x\in A} I(x) $ is positive.

[Mathoss]

SPOILER:

1/ On peut déjà dire que $K$ est nécéssairement fermé.

En effet, s'il existe $x_n$ suite de K qui tend vers $a$ qui n'est pas dans K, alors $f(x)=\dfrac{1}{x-a}$ est continue sur $K$ mais pas uniformément continue.

2/ Soit $K$ non compact, donc il existe $x_n$ suite de $K$, qui tend vers $+\infty$ par exemple.

Si $\forall A>0,\forall e>0, ,\exists x\neq y \in K\cap [A,+\infty[, |x-y|<e$, alors on peut trouver une fonction $f$ continue sur $K$ et $f$ n'est pas uniformément continue.

Ce qui conclut l'étude.

Je ne vois pas en quoi ça conclut le cas où la partie n'est pas compacte!
Le cas des ensembles discrets fait sentir que la caractérisation ne peut pas être si simple

[Luckyos]

Je ne vois pas en quoi ça conclut le cas où la partie n'est pas compacte!
Le cas des ensembles discrets fait sentir que la caractérisation ne peut pas être si simple

Son 2è point montre qu'il existe A>0 et d>0 tels que : $ \forall x\neq y\in \mathbb R, (|x|>A,|y|>A) \implies |x-y|>d $.
Donc $ K\cap [-A,A] $ est compact et K est l'union d'un compact et d'un ensemble de réels deux à deux distants d'au moins d.

[Mathoss]

Equivalent en $ 1^- $ de $ \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{x^n}{ln(n)} $

Déjà, par une comparaison série intégrale, somme des 1/ln(k) pour k=2 à n ~ intégrale de 2 à n de 1/ln(t)
Ensuite, intégrale de 1/ln(t) = [t/ln(t)] + intégrale de 1/ln(t)^2
Par comparaison, intégrale de 1/ln(t)^2 = o(n/ln(n))
D'où un équivalent de la somme partielle déjà

Ensuite, 1/(1-x) * Somme des x^n / ln(n) = somme des x^n * [somme sur k=2 à n des 1/ln(k)]
Il est alors classique que lorsque x->1-, somme des x^n *[somme sur k=2 à n des 1/ln(k)] ~ somme des n/ln(n) * x^n
Enfin, on remarque, en notant f la somme de la série entière qu'on étudie initialement, que somme des n*x^n / ln(n) ~ f'(x)
On a donc : f'(x)/f(x) ~ 1/1-x
D'où, par intégration des relations de comparaison, ln(f(x))~-ln(1-x) donc: f(x)~ 1/1-x

[Luckyos]

ln(f(x))~-ln(1-x) donc: f(x)~ 1/1-x

En + l'infini, x+1~x donc e^(x+1)~e^x ?