polynome

[Hicham alpha]

bonjour

merci de m'aider dans la question suivante,
Quels sont les polynomes P ∈ ℂ [x] pour lesquels P̃(ℂ) ⊂ ℝ.

bonne journée

[Krik]

Tout polynôme est un interpolateur de Lagrange qui s'ignore.

Edit : Oups oui Nabuco a raison, j'avais mal lu

[Nabuco]

Je pense que krik voulait parler des polynômes complexes qui envoient R dans R, l'indication évoquée me semble pas incroyablement utile...

Si P(C) est inclus dans R que peut-on dire du polynôme P-i ?

Aussi on peut utiliser une technique type Dl.

[Hicham alpha]

Merci pour vos réponses.
-Krik, je connais pas les interpolateurs de lagrange... Désolé
-Nabuco, je pense que P-i a comme fonction polynomiale, une fonction d'image dans C\R. Non ?
La technique de Dl onsiste à faire quoi ?

Bonne journée

[Krik]

Pour me faire pardonner d'avoir mal lu, je te propose de montrer un résultat plus général (et qui illustre bien qu'un résultat plus général peut être plus facile à montrer quand on fait les hypothèses minimales) : si $ P $ est un polynôme non constant, alors $ P(\mathbb{C}) =\mathbb{C} $.
C'est une simple application de D'Alembert-Gauss.

[Nabuco]

Merci pour vos réponses.
-Krik, je connais pas les interpolateurs de lagrange... Désolé
-Nabuco, je pense que P-i a comme fonction polynomiale, une fonction d'image dans C\R. Non ?
La technique de Dl onsiste à faire quoi ?

Bonne journée

En fait considérer P-i est globalement ce que propose krik dans le message au dessus.

Sinon la technique DL c'est pas tellement un DL mais l'idée c'est de regarder le terme dominant (c'est significativement ressemblant à d'alembert gauss). Si P est non constant on pose P(x)=P(0)+aX^k* Q(X), avec Q(0)=1 et a différent de 0, on prend b réel tel que exp(ib)*a est dans iR+* i.e. vaut i|a|
Im((P(rexp(itheta))-P(0))/r^k)=Im(iQ(rexp(ib))) |a| qui tend vers |a|>0 lorsque r tend vers 0.
Bilan pour r assez petit Im((P(rexp(itheta))-P(0))/r^k)>, contradiction

[Hicham alpha]

Merci beaucoups.

Donc, il ne nous reste que les polynomes constantes ( où la constante appartient à l'ensemble R).

Bonne journée