Exos sympas MP(*)

[Krik]

Intuitivement, j'aurais envie de rapprocher ça du caractère récurrent de la marche aléatoire symétrique sur $ \mathbb{Z} $, mais bien sûr cela ne fournit pas une démonstration, et ça dépasse ce qu'on voit en prépa (et c'est peut-être une mauvaise idée en plus...).

[artslidd]

Oui effectivement le sens inverse à l'air d'être faux

[artslidd]

L'idée initiale que j'avais était de traduire le fait d'avoir un nombre infini de zéro dans [0,1]

[matmeca_mcf1]

Soit $ (\epsilon_{k}) $ une suite de variables aléatoires identiques et indépendantes de Rademacher. Montrer que la fonction qui à x associe :
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k} x^{k} $

Admet presque sûrement une infinité de zéros sur [0,1]

Je vais proposer un début de réponse. Je ne suis pas allé jusqu'au bout mais cela devrait aider pendant un oral d'Ulm quand même. Le but d'un oral d'Ulm est de voir comment un élève réagit devant un problème non guidé et s'il fait preuve d'initiative. Si on a plein d'idées pour attaquer le problème mais qu'on attend d'avoir la réponse complète dans sa tête avant de commencer, on va donner la même impression à l'examinateur qu'un élève qui n'a aucune idée sur comment attaquer le problème donc il faut exposer à l'examinateur comment on compte attaquer le problème même si au final il est possible que ce que l'on tente ne fonctionne pas.

Pour simplifier l'écriture du problème, j'appelle $ \Omega $ l'espace probabilisé, et $ \mathbb{P} $ la mesure de probabilité $ \omega $ représentera toujours un élément de l'espace de probabilisé.

Voici la première chose à remarquer. Pour tout $ \omega $ fixé, le rayon de convergence de la série $ \sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k}(\omega) x^{k} $ vaut $ 1 $. Notons $ f_\omega $la fonction
$$
f_\omega\colon \mathopen{\rbrack}-1,+1\mathclose{\lbrack}\\
x\mapsto \sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k}(\omega) x^{k}
$$
Je ne sais pas si le résultat est en prépa mais les zéros d'une fonctions dévelopable en série entière sont isolées. Ainsi, pour tout $ \omega $ dans $ \Omega $, l'ensemble des zéros de $ f_\omega $ n'admet pas de points d'accumulation dans $ \mathopen{\rbrack}-1,+1\mathclose{\lbrack} $. Donc pour tout $ \omega $ et tout $ 0<R<1 $, le nombre de zéros de dans $ [0,R] $ est fini. La seule possibilité pour $ f_\omega $ amette une infinité de zéros sur $ [0,1] $ est que $ 1 $ soit un point d'accumulation des zéros de $ f_\omega $. Cela donne envie de considérer l'ensemble:
$$
A=\{\omega\in\Omega:\forall N\in\mathbb{N}^*,\exists x>1-1/N, f_\omega(x)=0\}.
$$

Mais, il sera plus facile de travailler sur l'ensemble
$$
B=\{\omega\in\Omega:\forall N\in\mathbb{N}^*,\exists x>1-1/N,\exists y>1-1/N, f_\omega(x)>0 \text{ et } f_\omega(y)<0\},\\
=\left(\bigcap_{N=1}^{+\infty}\{\omega\in\Omega: \exists x>1-1/N,f_\omega(x)>0\}\right)
\cap
\left(\bigcap_{N=1}^{+\infty}\{\omega\in\Omega: \exists x>1-1/N,f_\omega(x)<0\}\right).
$$
On a $ B\subset A $. Il «suffit» de montrer que pour tout $ N\in\mathbb{N}^* $,
$$
\begin{gathered}
\mathbb{P}\left(\bigcap_{N=1}^{+\infty}\{\omega\in\Omega: \exists x>1-1/N,f_\omega(x)>0\}\right)=1\qquad\qquad\mathrm{(1)}\\
\mathbb{P}\left(\bigcap_{N=1}^{+\infty}\{\omega\in\Omega: \exists x>1-1/N,f_\omega(x)<0\}\right)=1\qquad\qquad\mathrm{(2)}
\end{gathered}
$$
En fait, par symétrie, en remplaçant les $ \epsilon_k $ par $ -\epsilon_k $ dans la série, on s'aperçoit qu'il suffit de montrer (1).

Le plus dur reste à faire, mais si on arrive là lors de l'oral d'Ulm, on a au moins montré qu'on savait faire preuve d'initiative et qu'on savait aborder un exercice de probabilité. Tout en ayant montré qu'on sait faire appel à ses connaissances sur les fonctions développables en série entière.

[Landstockman]

$$
B=\{\omega\in\Omega:\forall N\in\mathbb{N}^*,\exists x>1-1/N,\exists y>1-1/N, f_\omega(x)>0 \text{ et } f_\omega(y)<0\},\\
=\left(\bigcap_{N=1}^{+\infty}\{\omega\in\Omega: \exists x>1-1/N,f_\omega(x)>0\}\right)
\cap
\left(\bigcap_{N=1}^{+\infty}\{\omega\in\Omega: \exists x>1-1/N,f_\omega(x)<0\}\right).
$$

Si je ne me trompe pas, par continuité décroissante on a juste à montrer :

$ \forall \, N\in\mathbb{N},\: \mathbb{P}\left(\{ \omega\in\Omega, \: \exists x>1-1/N,f_\omega(x)>0\}\right)=1 $

[matmeca_mcf1]

Exact, c'est suffisant. J'ai oublié de retirer les $ \bigcap $ dans les formules (1) et (2). Le plus dur reste à faire car on n'a même pas utilisé l'hypothèse d'indépendance de variables aléatoires, ou leur loi. Il faudrait voir ce qu'il y a dans le programme de prépa en probas pour se guider. Les marches aléatoires sont-elles dans le programme de prépa?

[Landstockman]

Non pas de marches aléatoires en prépa malheureusement :/

[Krik]

Pour un exercice d'Ulm, ça ne serait pas fantaisiste qu'elles apparaissent. Après tout ça reste dans le cadre des probabilités discrètes.

C'était d'ailleurs l'idée de mon message plus haut qui parlait de récurrence des marches aléatoires : intuitivement, à $ x $ fixé assez proche de $ 1 $, les premières puissances de $ x $ sont $ \approx 1 $ tandis que les grandes puissances de $ x $ restent $ \approx 0 $, ce qui justifie quelque chose comme $ f_{\omega} (x) \approx \sum\limits_{k=0}^{n_x}\epsilon_k(\omega) $ (en reprenant les notations de matmeca_mcf1) avec $ n_x $ qui tend vers l'infini quand $ x $ tend vers 1, et alors la récurrence de la marche aléatoire symétrique donne l'intuition du résultat.

Bien sûr, ce que je viens de faire, ce n'est pas des maths, mais c'est comme ça que je me suis convaincu du résultat.

[matmeca_mcf1]

Une très bonne idée. Je ne sais pas si elle peut aboutir ou si on a besoin de résultats plus précis que "la marche change presque surement une infinité de fois de signes" pour pouvoir conclure. Mais comme c'est un Oral d'Ulm, le but n'est pas forcément de résoudre le problème mais d'exposer à l'examinateur vos idées pour attaquer le problème. Donc, ici, il faudrait expliquer à l'examinateur que vous voyez un lien avec les marches aléatoires, le fait qu'elles changent une infinité de fois de signe, et le lien intuitif entre le polynôme et la marche aléatoire.

Même si la piste n'est pas la bonne et que l'on ne peut pas conclure de cette manière ou qu'on a besoin de résultats plus précis sur le comportement des marches aléatoires, il est préférable pour le candidat d'expliquer à l'examinateur comment il pense attaquer le problème que de rester muet pendant une demi-heure devant le tableau parce qu'il n'a pas la solution complète.

[oty20]

Soit $ (\epsilon_{k}) $ une suite de variables aléatoires identiques et indépendantes de Rademacher. Montrer que la fonction qui à x associe :
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k} x^{k} $

Admet presque sûrement une infinité de zéros sur [0,1]

Bonjour,
très jolie problème voici une humble tentative, je prends $ u_{j}=\varepsilon_{j} $ pour simplifier l’écriture en latex.

Soit $ f(x)=\sum u_{j} x^{j}, P_n(x):=\sum_{j=1}^n u_j x^j, R_n:=\sum_{j=n+1}^\infty u_j x^j $. Il est bien connu que dans une marche aléatoire à une dimension on visite presque surement n'importe quel entier une infinité de fois . Par conséquent $ P_n(1), n=1,2,\dots $ prend une infinité de fois les valeurs $ 2 $ , $ -2 $.

Soit $ 0<x_1<1 $ tel que: $ f(x_1)>0 $ (le cas $ f(x_1)<0 $ est similaire). Soit $ n $ suffisamment grand tel que $ P_n(1)\leq -2 $. Ainsi pour$ x_2 $ suffisamment proche de $ 1 $, $ P_n(x_2)<-1 $. La probabilité que $ R_n(x_2) $ soit negative est $ \frac{1}{2} $, Ainsi on a 50-50 de chances que $ f(x_2)<-1 $. Si cela est le cas, on disposerait d'un zero de $ f(x) $ dans $ (x_1,x_2) $.

Puisque pour une infinité d'entiers $ n $l'inégalité $ P_n(1)\leq -2 $ est vérifié, on peut trouver presque surement $ x_2 $ de sorte que $ f(x_2)<-1 $.

En remplaçant $ x_1 $ par $ x_2 $ de manière similaire , on peut trouver $ x_1,x_2,\dots; x_i<1 $ ou $ f(x) $ change de signe

J'aurais besoin d'aide pour formaliser et mieux élaborer tout cela, Il y a cependant un petit ''crack'' dans cette approche. On est pas certain que les événement "$ R_n(x_i) $ est negative" sont indépendants.


Edit: je n'ai pas lu les commentaires qui viennent après le poste de l’énoncé du problème pour ne pas être influencer, je m'excuse s'il y a de la redondance.