Exos sympas MP(*)

[muirhead]

Bonjour, je suis en TS.
Un exo sympa qui m'a été posé : s'il n'a pas sa place ici, faites-le moi savoir.
Déterminer les entiers $k$ premiers avec tous les termes de la suite $a_n=2^n+3^n+6^n-1$.

[Zrun]

A peine plus exotique :
Existe-t-il $n$ entier tel que $2^n$ commence par un $777$ ?

Pourquoi prendre 777 et pas un entier quelconque m ?
Cependant, l’exo est intéressant. Je ne propose pas une solution détaillée , seulement les grandes idées ...
On note $ \theta = log_{10}(2) $. En utilisant la décomposition en facteurs premiers , on montre que $ \theta $ est irrationnel par l’absurde.
Ensuite, on montre que la suite $ |n\theta| $ est dense dans $ [0,1] $où $ || $ désigne la partie fractionnaire .
En écrivant m sous forme scientifique, par exemple 777=7,77x100, on peut alors conclure facilement en choisissant un n convenable assez grand

[burgerking]

Bonjour,
Un exo que j’ai eu en colle :
On se place dans R^2 et on appelle longueur d’un arc g C1, si elle existe, l’intégrale de la norme de g' sur [0,1]. On appelle longueur d'un arc C0 si elle existe, le sup des longueurs des lignes brisées coincidant en n points (n variable) avec l'arc. On la note L(g). On admet que les deux définitions coincident sur les arcs C1.
On considère une application f qui va de A=(arcs du plans C0 de longueur finie) vers B=(variables aléatoires à valeurs naturelles) telle qu’il existe C>0, pour tout segment s du plan, E(f(s))=CL(s)
Montrer que pour tout g dans A, E(f(g))=CL(g)

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
N'est-ce pas plutôt l'intégrale de la norme de $ g' $ ? Et la dernière égalité, n'est-ce pas $ C\,L(g) $ plutôt que $ C\,L(s) $ ?
Enfin, on ne demande vraiment rien à $ f $ à part la propriété pour les segments ?

[burgerking]

Oui aux deux questions désolé pour les coquilles.
Et oui, aucune hypothèse n'est faite sur f.

[TheWorld]

@Zrun c'est l'idée
Le point le plus technique à rediger reste de montrer l'equirepartition de la suite modulo 1
Je crois qu'il s'agit d'un oral de l'ens lyon et le chiffre 7 a été choisi lors de cet oral (sans doute pour ne pas que l'eleve teste les puissances de 2 une par une comme @Dattier l'a très bien fait) mais l'exercice se generalise effectivement très bien

[Luckyos]

On se place dans R^2 et on appelle longueur d’un arc g C1, si elle existe, l’intégrale de la norme de g' sur [0,1]. On appelle longueur d'un arc C0 si elle existe, le sup des longueurs des lignes brisées coincidant en n points (n variable) avec l'arc. On la note L(g). On admet que les deux définitions coincident sur les arcs C1.

Exo que j'ai eu à l'oral de maths Cachan/Rennes : le montrer.

[GaBuZoMeu]

@Burgerking :
Je note $ \lfloor r\rfloor $ et $ \{r\} $ la partie entière et la partie fractionnaire d'un réel $ r $.
Je définis l'application $ f $ par
1°) Si $ g $ est un segment, $ f(g) $ est la variable aléatoire qui vaut $ \lfloor L(g)\rfloor $ avec proba $ 1-\{L(g)\} $ et $ \lfloor L(g)\rfloor +1 $ avec proba $ \{L(g)\} $.
2°) Sinon, $ f(g) $ est la variable aléatoire qui vaut 1 avec probabilité 1.

Qu'en penses-tu ?

[Zrun]

@Zrun c'est l'idée
Le point le plus technique à rediger reste de montrer l'equirepartition de la suite modulo 1
Je crois qu'il s'agit d'un oral de l'ens lyon et le chiffre 7 a été choisi lors de cet oral (sans doute pour ne pas que l'eleve teste les puissances de 2 une par une comme @Dattier l'a très bien fait) mais l'exercice se generalise effectivement très bien

Oui effectivement c’est le plus technique . L’idée est de se fixer deux réels $ 0\leq a<b\leq1 $ puis de considérer $ G=Z+\theta Z $. C’est un sous-groupe de R qui n’est pas discret donc il est dense . L’idée est en fait de considérer un element de $ G $ dans $ [a+\epsilon, b-\epsilon] $ pour un $ \epsilon $ inférieur à $ \frac{b-a}{3} $ afin de pouvoir rajouter des petits éléments de G afin de se ramener à un élément de $ N+\theta Z $.
En effet, il existe $ x=p+\theta q \in [a+ \epsilon , b-\epsilon] $. Par densité de G dans $ [0,\epsilon] $, il existe une infinité d’éléments de G dans $ [0,\epsilon] $ donc a fortiori , il existe $ y=n+ \theta m $ dans $ [0,\epsilon] $ avec $ abs(n)>abs(p) $. Alors $ x-y $ ou $ x+y $ convient .

[Siméon]

À propos de l'oral d'Ulm posé par l'X en Y.

Une idée qui fonctionne (je ne donne pas tous les détails, seulement quelques grandes lignes). [...]
En utilisant convenablement le lemme de Borel-Cantelli, on peut alors conclure (je reste volontairement succint)...

Je serais curieux de voir ce que tu as en tête, j'ai l'impression qu'il manque plus que quelques détails dans cette direction. Si j'ai le temps j'essayerai de poster une solution plus complète (et peut-être un peu plus simple).