Arithmétique

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Répondre

Messages : 79

Enregistré le : 16 févr. 2018 20:30

Arithmétique

Message par prepamath » 12 mars 2019 23:12

Bonjour,
Je suis face à l'xo suivant :
Montrer que : $$ (_{n}^{2n}) | \prod_{p..premier} p^{\left \lfloor \frac{ln(2n)}{ln(2p)} \right \rfloor} $$
Mais je n'obtiens pas le bon résultat. J'avais pensé à compter le "nombre d'apparition du facteur p" dans le coeff binomial.
J'ai procédé ainsi : J'ai écrit le coefficient binomial en factorielle. et compter la puissance p maximale dans n!.
Il y a p^k <= n pour k <= la partie entière de ln(n)/ln(p)
Puis il y a (p-1) entiers au plus divisibles par p^k pour un tel k.
D'où le p apparaît au plus à la puissance :
$$ \sum_{i=1}^{\frac{ln(n))}{ln(p)}}i(p-1) $$
Mais je n'aboutis pas

Messages : 5492

Enregistré le : 04 sept. 2005 19:27

Localisation : Versailles

Re: Arithmétique

Message par JeanN » 13 mars 2019 12:06

Es-tu familier de la formule de Legendre ?
Quel est le contexte de cette question (pas si facile...) ?
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

Messages : 79

Enregistré le : 16 févr. 2018 20:30

Re: Arithmétique

Message par prepamath » 13 mars 2019 12:14

Bonjour,
Je ne connais pas ce résultat et ceci est un énoncé d’oral fourni par mon prof de Mp (sans autre information)

Messages : 5492

Enregistré le : 04 sept. 2005 19:27

Localisation : Versailles

Re: Arithmétique

Message par JeanN » 13 mars 2019 12:31

Bon, le principe d'un oral étant de discuter des pistes avec le candidat, je suppose que l'interrogateur te demanderait de démontrer la formule de Legendre dans un premier temps (cf wiki pour l'énoncé)
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

Messages : 79

Enregistré le : 16 févr. 2018 20:30

Re: Arithmétique

Message par prepamath » 15 mars 2019 01:07

Ok merci j'ai trouvé grâce à cela.

Répondre