Polynôme & racines simples
Polynôme & racines simples
Bonjour,
Je souhaiterais : « Montrer que X^n - X + 1 admet n racines simples dans C. »
Pourriez-vous m’apporter des éléments afin de mener à bien la démonstration ? (niveau MPSI)
Je souhaiterais : « Montrer que X^n - X + 1 admet n racines simples dans C. »
Pourriez-vous m’apporter des éléments afin de mener à bien la démonstration ? (niveau MPSI)
Re: Polynôme & racines simples
Soit z une racine de P
Comment relier la notation z est une racine simple de P avec P'(z) ? Ensuite il suffit d appliquer cela dans ce cas là
Re: Polynôme & racines simples
z est une racine simple de P si elle n’est pas racine de P’ c’est à dire si P’(z) est différent de 0.
S’agirait-il de raisonner par l’absurde en supposant que z est une racine double et en montrant que le z qu’on obtient à partir des équations P(z) = 0 et P’(z) = 0 est absurde (où P = X^n - X + 1) ?
Enfin, ceci répondrait au fait que P n’a que des racines simples mais ne permettrait pas de justifier le fait que P admet autant de racines que son degré.
Merci.
Re: Polynôme & racines simples
Dans $\mathbb{C}$, c'est le cas (théorème de d'Alembert-Gauss).
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
Re: Polynôme & racines simples
Re-bonjour,
J’ai donc raisonné par l’absurde en supposant qu’il existait une racine double notée a.
On a alors :
a^n - a + 1 = 0 et na^(n-1) - 1 = 0
En utilisant la deuxième relation, on obtient : a^(n-1) = 1/n (n est différent de 0 par définition)
Puis en utilisant ce résultat dans la première équation, on obtient :
a/n - a + 1 = 0 soit : a = n/(n-1)
Mais comment conclure que ce résultat est absurde ?
J’ai donc raisonné par l’absurde en supposant qu’il existait une racine double notée a.
On a alors :
a^n - a + 1 = 0 et na^(n-1) - 1 = 0
En utilisant la deuxième relation, on obtient : a^(n-1) = 1/n (n est différent de 0 par définition)
Puis en utilisant ce résultat dans la première équation, on obtient :
a/n - a + 1 = 0 soit : a = n/(n-1)
Mais comment conclure que ce résultat est absurde ?
Dernière modification par Robinoub le 26 avr. 2019 18:18, modifié 2 fois.
Re: Polynôme & racines simples
C est possible d avoir a^n-1 =1/n et a vaut n/n-1 ?Robinoub a écrit : ↑26 avr. 2019 18:16Re-bonjour,
J’ai donc raisonné par l’absurde en supposant qu’il existait une racine double notée a.
On a alors :
a^n - a + 1 = 0 et na^(n-1) - 1 = 0
En utilisant la deuxième relation, on obtient : a^(n-1) = 1/n
Puis en utilisant ce résultat dans la première équation, on obtient :
a/n - a + 1 = 0 soit : a = n/(n-1)
Mais comment conclure que ce résultat est absurde ?
Re: Polynôme & racines simples
L’absurdité viendrait donc de là...
Non je ne pense pas puisque si on avait ceci, on aurait alors : n^n = (n-1)^(n-1) ce qui est toujours faux dans N\{0,1} (la définition de n). Merci !
Cet exercice conduisait en fait au calcul d’un déterminant matriciel qui utilisait les racines du polynôme précédent, il fallait néanmoins justifier leur existence dans la première question (ce qui n’était pas très compliqué je l’avoue).