merci pour votre proposition , j'aimerais savoir la réponse de la question 7.c .
maths B X MP 2019
Re: maths B X MP 2019
Il suffit de montrer que phi est C0 sur R, dans ce cas rho est C1 et vérifie rho(0)=0 et rho'(0)=phi(0)=0
On pose g(r)= pour r>0 le truc moche tel que phi(r)=max(0,g(r)), et on prolonge g en 0 pour que g soit continue en 0 (l'hypothèse (3) montre que g peut se prolonger en une fonction continue au point 0. Par (3) cela donne g(0)<=0 et donc phi(r)=max(0,g(r)) pour $r\geq 0$
comme max(a,b)=1/2(|a-b|+b+a), phi(r)=1/2(g(r)+|g(r)|) est continue si g est continue.
Il suffit donc de montrer que g est continue sur R+.
On sait déjà que g est continue en 0.
Soit r>0 montrer que g est continue en r.
Soit epsilon>0. Par continuité de l'application qui à y associe (on définit h ainsi sur R\{x0}) h(y) =(u(y)-u(x_0)-p(y-x_0))/|y-x_0| sur R\x_0, il existe $\alpha>0$ tel que si $y\in [-1,1]$ et $|y-(x_0+r)|\leq \alpha$ et y différent de x_0, alors |h(y)-h(x_0+r)|<epsilon.
Idem il existe $\beta>0$ tel que si $y\in [-1,1]$ et $|y-(x_0-r)|\leq \alpha$ et y différent de x_0, alors |h(y)-h(x_0-r)|<\epsilon.
En particulier pour $0\leq s\leq min(\alpha,\beta)$, on a g(r+s)=max(sup h(y) (pour y entre x-r et x+r, et dans [-1,1] et différent de x0), sup h(y)( pour y entre x-r-s et x0-r+s et dans [-1,1] et différent de x_0), sup h(y) ( pour y entre x0+r-s et x0+r+s et dans [-1,1] et différent de x_0)<= max(phi(r),h(x_0-r)+epsilon, h(x_0-r)+epsilon)<=max(phi(r), phi(r)+epsilon,phi(r)+epsilon <=phi(r)+epsilon.
La fonction phi est croissante (on prend le sup sur un ensemble plus grand) donc pour $0\leq s\leq min(\alpha,\beta)$ phi(r)<= phi(r+s)<=phi(r)+epsilon.
Ceci donne la continuité à droite.
Pour la continuité à gauche, soit y dans [x0-r,x0+r] différent de x_0 et dans [-1,1] tel que h(y)>phi(r)-\epsilon. Par continuité de $h$ on peut choisir y dans }x0-r, x_0+r[.
On voit facilement que pour s<min(|x0+r-y|,|x0-r-y|), et s<r alors y est dans [x0-r+s, x0+r-s] par inégalité triangulaire, donc phi(r)>=phi(r-s)>=h(y)>=phi(r)-epsilon
Désolé pour la rédaction calamiteuse mélange de tex et de pas tex
Si tu veux une réponse mieux rédigée (probablement aussi pénible mais mieux rédigée) je peux essayer de faire quelque chosep our demain soir.
En gros c'est globalement les mêmes idées que si f est continue alors sup[0,x] f(t) l'est aussi.
On pose g(r)= pour r>0 le truc moche tel que phi(r)=max(0,g(r)), et on prolonge g en 0 pour que g soit continue en 0 (l'hypothèse (3) montre que g peut se prolonger en une fonction continue au point 0. Par (3) cela donne g(0)<=0 et donc phi(r)=max(0,g(r)) pour $r\geq 0$
comme max(a,b)=1/2(|a-b|+b+a), phi(r)=1/2(g(r)+|g(r)|) est continue si g est continue.
Il suffit donc de montrer que g est continue sur R+.
On sait déjà que g est continue en 0.
Soit r>0 montrer que g est continue en r.
Soit epsilon>0. Par continuité de l'application qui à y associe (on définit h ainsi sur R\{x0}) h(y) =(u(y)-u(x_0)-p(y-x_0))/|y-x_0| sur R\x_0, il existe $\alpha>0$ tel que si $y\in [-1,1]$ et $|y-(x_0+r)|\leq \alpha$ et y différent de x_0, alors |h(y)-h(x_0+r)|<epsilon.
Idem il existe $\beta>0$ tel que si $y\in [-1,1]$ et $|y-(x_0-r)|\leq \alpha$ et y différent de x_0, alors |h(y)-h(x_0-r)|<\epsilon.
En particulier pour $0\leq s\leq min(\alpha,\beta)$, on a g(r+s)=max(sup h(y) (pour y entre x-r et x+r, et dans [-1,1] et différent de x0), sup h(y)( pour y entre x-r-s et x0-r+s et dans [-1,1] et différent de x_0), sup h(y) ( pour y entre x0+r-s et x0+r+s et dans [-1,1] et différent de x_0)<= max(phi(r),h(x_0-r)+epsilon, h(x_0-r)+epsilon)<=max(phi(r), phi(r)+epsilon,phi(r)+epsilon <=phi(r)+epsilon.
La fonction phi est croissante (on prend le sup sur un ensemble plus grand) donc pour $0\leq s\leq min(\alpha,\beta)$ phi(r)<= phi(r+s)<=phi(r)+epsilon.
Ceci donne la continuité à droite.
Pour la continuité à gauche, soit y dans [x0-r,x0+r] différent de x_0 et dans [-1,1] tel que h(y)>phi(r)-\epsilon. Par continuité de $h$ on peut choisir y dans }x0-r, x_0+r[.
On voit facilement que pour s<min(|x0+r-y|,|x0-r-y|), et s<r alors y est dans [x0-r+s, x0+r-s] par inégalité triangulaire, donc phi(r)>=phi(r-s)>=h(y)>=phi(r)-epsilon
Désolé pour la rédaction calamiteuse mélange de tex et de pas tex
Si tu veux une réponse mieux rédigée (probablement aussi pénible mais mieux rédigée) je peux essayer de faire quelque chosep our demain soir.
En gros c'est globalement les mêmes idées que si f est continue alors sup[0,x] f(t) l'est aussi.
Re: maths B X MP 2019
Salut, j'ai fait un corrigé sur overleaf : https://www.overleaf.com/read/vsdnxtrrjysg, il n'y a pas eu de relecture donc j'ai peut-être fait des erreurs. Et les toutes dernières questions n'y sont pas. Voila !
Re: maths B X MP 2019
Pour avoir relu jusqu'à la 8, je donne quelques critiquesZak_ a écrit : ↑06 mai 2019 18:28Salut, j'ai fait un corrigé sur overleaf : https://www.overleaf.com/read/vsdnxtrrjysg, il n'y a pas eu de relecture donc j'ai peut-être fait des erreurs. Et les toutes dernières questions n'y sont pas. Voila !
la 1b c'est moyen le +- u'(x) enfin c'est assez imprécis (utiliser des o simplifierait peut être
la 2 c'est plutôt car e-e^-1 est non nul
la 3 disons que pour la pédagogie ça mériterait de détailler els calculs
la 5a ça peut être bien de rappeler pourquoi le delta
la 5b la dérivabilité de u mériterait détail (au mons de dire qu'il faut faire les mêmes techniques d'inégalités, là on voit pas bien d'où ça vient)
la 7a c'est pas du tout clair (existence d'un tel eta il n'y a pas de vraie continuité en 0) (dire que le sup est plus petit que le sup pour phi et utiliser un argument de prolongement pourrait probablement rendre rigoureux l'argument)
La 7c tu peux pas passer de Ir' à J pas de raison que le sup soit atteint sur le bord à priori
Re: maths B X MP 2019
Merci ! J'ai tout corrigé je pense, la 7c on peut passer de Ir à J parce que si A et B sont deux ensembles, on a sup sur AUB f(x) = max(sup sur A de f(x), sup sur B de f(x)). Bon fallait juste distinguer les cas où r>r' et r<r'.
EDIT : j'ai surtout rectifié la 7a. qui méritait pas autant de détails et qui contenait certaines coquilles.
EDIT : j'ai surtout rectifié la 7a. qui méritait pas autant de détails et qui contenait certaines coquilles.