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par Zak_ » 23 mai 2019 22:16
225 : Impossible. On va d'abord voir tout ça pour une fonction polynomiale. (Si on ne peut qu'utiliser les opérations (+,-,x)). Si on peut exprimer R qu'avec (+,-,x), alors R s'exprime comme un polynôme à coefficient dans $ \mathbb{Q} $. Soit $ P \in \mathbb{Q}[X] $ tel que $ \forall x \in \mathbb{Q}(\sqrt2), R(x)=P(x) $. Alors si $ q \in \mathbb{Q} $, on a $ R(q) = P(q) = q $. Donc en fait $ P = X $ puisqu'il coincide avec $ X $ sur une infinité de valeur. Très clairement cela n'est pas possible car R n'envoie pas $ \sqrt2 $ sur lui-même.
Maintenant, si on s'autorise aussi /, on est dans le cas des fractions rationnelles. Soit $ (P,Q) \in \mathbb{Q}[X] $ tel que $ \forall x \in \mathbb{Q}(\sqrt2), R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $. Ici pareil, $ P(q) = qQ(q) $, donc $ P = XQ $ et R correspond à l'identité, absurde.
Enfin, avec E en plus, on va montrer qu'on peut se débarrasser en fait de E dans l'expression de R et se ramener à une fraction rationnelle. Fixons $ r = \sqrt(2) $. bien entendu, il existe une infinité de nombres dans $ \mathbb{Q}(\sqrt2) $ aussi proches de $ r $ que l'on veut. On va montrer que pour $ x $ assez proche, un même "emboitement" de partie entière coïncide forcément en x et en r. Cela se fait aisément par récurrence structurelle sur la "profondeur". Au final, on a que pour tout nombre assez proche de $ r $, $ R $ s'exprime en fait comme une fraction rationnelle. C'est absurde en faisant le même raisonnement que précédemment. Donc R ne peut pas s'exprimer à l'aide des opérations (+,-,x,/,E).
