Exercices de MPSI

[zygomatique]

Soit z un complexe de module 1, montrer que soit $ |1+z| \geq 1 $, soit $ |1+z^{2}| \geq 1 $

SPOILER:

Bon on peut écrire $z=e^{i\theta}$ factoriser par $z=e^{i \frac {\theta}{2}}$ faire apparaître des $\cos$ etc mais j'ai pensé à une preuve un peu plus rigolote.

On écrit quand même $z=e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi[$ et $Z$ l'image de $z$ dans le plan complexe. Ajouter $1$ à $z$ équivaut à effectuer une translation d'une unité vers la droite de $Z$ dans le plan. Si $\theta \in [0;\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2};2\pi[$ alors $Z$ se situe sur le côté droit du cercle trigo, et donc le bouger d'une unité vers la droite le sortira du disque centré à l'origine et de rayon $1$, et on a bien $|1+z| \geq 1$.

On définit $f : \theta \in [0;2\pi[ \mapsto 2|\cos(\theta)|$. $f$ a une interprétation géométrique simple : c'est la distance entre le projeté orthogonal sur l'axe des abscisses d'un point du cercle trigo et celui de son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et donc la distance entre ces deux points. $f$ est continue et strictement croissante sur $[\frac{\pi}{2};\pi]$. Comme $f(\frac{\pi}{2})=0$ et $f(\frac{2\pi}{3})=1$ on a $\forall \theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}], f(\theta) \le 1$ d'où la distance entre n'importe quel point de $[\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]$ et son symétrique est inférieur à $1$ d'où la translation de n'importe lequel de ces points d'une unité vers la droite le sortira du disque de rayon $1$ et centré en 0. Un raisonnement analogue pour $\theta$ dans $[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}]$ nous donne $\theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]\cup[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow |1+z| \geq 1$.

Enfin, si $\theta \in [\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$ alors $2\theta \in [0; \frac{\pi}{2}]\cup[\frac{3\pi}{2}; 2\pi[$ d'où l'image de $z^2=e^{2i\theta}$ est sur le côté droit du cercle, et donc le décaler d'une unité vers la gauche le sort du disque et on a bien $|1+z^2| \geq 1$.

Sinon je retrouve plus le message mais à un moment quelqu'un demande de trouver toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f \cdot f=fof$ et je sais pas du tout comment aborder ce genre d'exos (j'ai prouvé que les seules solutions polynomiales sont $x \mapsto 0$, $x \mapsto 1$ et $x \mapsto x^2$ mais c'est bien loin du résultat).

on peut faire un peu plus efficace :

notons A, M et N les points d'affixe -1, z, et z^2 avec z = exp(it) et donc z^2 = exp (2it) avec t dans [0, 2pi]

alors |1 + z| = |z - (-1)| = AM et |1 + z^2| = |z^2 - (-1)| = AN

le cercle trigonométrique et le cercle C de centre A et de rayon 1 se coupent en t = 2pi/3 et t = 4pi/3

(l'étude de) la fonction f : t --> 2t (sur [0, 2pi]) permet alors de conclure

[matmeca_mcf1]

Sinon je retrouve plus le message mais à un moment quelqu'un demande de trouver toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f \cdot f=fof$ et je sais pas du tout comment aborder ce genre d'exos (j'ai prouvé que les seules solutions polynomiales sont $x \mapsto 0$, $x \mapsto 1$ et $x \mapsto x^2$ mais c'est bien loin du résultat).

Que vaut $ f(x) $ quand $ x $ appartient à l'image de $ f $?

[Chronoxx]

Salut !

Donner un exemple de polynôme $ P $ non constant à coefficient dans un corps $ \mathbb K $ tel que $ \mathrm{deg}(P')<\mathrm{deg}(P)-1 $ et donner une condition sur $ \mathbb K $ pour qu'une telle situation ne se présente pas.

SPOILER:

On peut prendre le polynôme $P = X^2 \in \mathbb{F}_2[X]$.
Une condition suffisante (et probablement nécessaire) pour que ça ne se présente pas est de se placer dans un corps de caractéristique nul typiquement $\mathbb{R}$.

Edit: mis en spoiler

[Errys]

Trouver une suite $ (u_n) $ réelle bornée telle que $ u_{n+1} - u_n\to 0 $ mais qui ne converge pas.

Soient $ \mathbb{K}\subseteq\mathbb{L} $ des corps et $ E $ un $ \mathbb{L} $ espace vectoriel de dimension finie. On suppose $ \dim_{\mathbb{K}}(\mathbb{L})<\infty $. Trouver $ \dim_{\mathbb{K}}(E) $

On sait montrer Bolzano-Weierstrass dans $ \mathbb{R}^n $ facilement par extractions successives. Mais est-ce que l'on sait aussi le faire en dimension infinie ? Si je prend une suite de suites $ (u_{n,m}) $, est-ce qu'il existe une extractrice $ (\phi(n)) $ tel que pour tout entier $ m $, $ (u_{m, \phi(n)})_{n\ge 0} $ converge ?

[Schädel]

Soit u une suite à valeurs réelles ; peut-on écrire u comme somme d'une suite croissante et d'une suite décroissante ?

[Nabuco]

Soit f une fonction de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ?

[Chronoxx]

Soit u une suite à valeurs réelles ; peut-on écrire u comme somme d'une suite croissante et d'une suite décroissante ?

SPOILER:

Oui.
On pose $v_0 = 0$ et pour tout $n\geq 1$, $v_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n |u_k - u_{k-1} |$. Alors $v$ est clairement croissante.
On vérifie que la suite $u - v$ est décroissante.
Et on a bien $u = u - v + v$.

[Errys]

Soit f une fonction de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ?

SPOILER:

La reponse est non. On se fait l'intuition du résultat en remarquant qu'une fonction monotone est discontinue en un nombre au plus dénombrable de points donc f doit être discontinue en un nombre au plus dénombrable de points. Ce qui est visiblement pas forcément le cas. Voici une preuve sans utiliser cet outil :
Supposons que $ f = g+h $ avec g croissante et h décroissante.
Pour $ x\in [0,1], g(x) \le g(1), h(x) \le h(0) $ d'où $ f(x) = g(x) + h(x) \le g(1) + h(0) $. Ce qui montre que $ f $ est majorée, ce qui n'est clairement pas forcément le cas vu qu'on a pas continuité :
Prendre $ f(x) = 1/x $ si $ x > 0 $, 0 sinon.

[Nabuco]

Soit f une fonction continue de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ?

Version un peu plus complexe

[Errys]

Soit f une fonction continue de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ?

SPOILER:

J'avoue que je ne peux pas fournir une explication de l'origine de mon exemple comme avant. On peut montrer que les fonctions qui peuvent s'écrire sous cette forme en enlevant l'hypothèse de continuité sont les fonctions à variations bornée (voir Cassini Analyse 1 chapitre 4 : fonctions à variation bornée).
Il s'agit de trouver une fonction qui oscille autour d'un point pour arriver à une contradiction :
$ f(x) = x\cos(1/x), f(0)= 0 $
Par l'absurde on écrit $ f = g+h $ avec $ g $ croissante et $ h $ décroissante.
Prenons $ x_n = \dfrac{1}{n\pi} $, on a $ f(x_n) = \dfrac{(-1)^n}{n\pi} $. D'où $ \mid f(x_{n+1}) - f(x_n)\mid = \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{(n+1)\pi}\ge\dfrac{2}{(n+1)\pi} $
D'où avec l'inégalité triangulaire : $ |g(x_{n+1}) - g(x_n)| + |h(x_{n+1}) -h(x_n)|\ge \dfrac{2}{(n+1)\pi} $.
Puis par les hypothèses de monotonie :
$ g(x_n) - g(x_{n+1}) + h(x_{n+1}) - h(x_n) \ge \dfrac{2}{(n+1)\pi} $
En sommant cette inégalité on arrive en telescopant à :
$ g(x_1) - g(x_{n+1}) + h(x_{n+1}) - h(x_1) \ge \sum_{k=1}^n \dfrac{2}{(k+1)\pi} $
Puis en utilisant encore une fois les hypothèses de monotonie :
$ g(x_1) -g(0) + h(1) - h(x_1) \ge \sum_{k=1}^n \dfrac{2}{(k+1)\pi} $
Cette dernière inégalité implique que la série harmonique converge ce qui est absurde !
Ainsi $ f $ qui est continue ne peut pas s'écrire comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante.